笛卡尔名言关于数学的(笛卡尔一元论，笛卡尔一家信仰)

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本文导读目录：

1、笛卡尔一元论，笛卡尔一家信仰

2、笛卡尔简单的发现，引发了一场深刻的数学革命，致使拓扑学诞生

笛卡尔一元论，笛卡尔一家信仰

勒内·笛卡尔(1596 ~1650)出生于都兰拉哈耶的一个贵族家庭。他在Loughreis的耶稣会学校接受教育，学习古代语言、经院哲学和数学。他在数学研究中找到了他渴望的确定性和清晰性，但他对其他学科并不满意。1612年离开学校时，他放弃了对这些学科的研究，而只追求“在他自己或世界的伟大著作中发现的”科学。他周游世界，享受尘世生活。617年和1619年，他加入了拿骚的莫里斯和提利将军的军队，与各种各样的人交往。在此期间，笛卡尔的知识兴趣从未减弱。人们经常发现他处于冥想状态，甚至在军队总部也是如此。如何在哲学中获得和数学一样的确定性，引起了他的兴趣。他祈祷上帝的启示，并发誓如果他的祈祷得到回应，他会去拉雷多的寺庙朝拜。笛卡尔于1621年离开军队，花时间旅行和学习(1621 ~1625)。他和科学界的朋友在巴黎呆了三年(1625 ~1628)，但觉得需要独处，于是去了荷兰。在那里，他忙于准备自己的作品(1629-1649)。1649年，笛卡尔接受了对哲学非常感兴趣的克里斯蒂娜女王的邀请，来到斯德哥尔摩，但天气损害了他的健康。笛卡尔在那里呆了一年，然后于1650年去世。

笛卡尔问题

和培根一样，笛卡尔坚决反对旧权威，强调哲学的实践特征。“哲学是人类所能知道的知识中最完美的知识，不仅用于指导生活，还用于健康和发现各种艺术。”但与培根不同，笛卡尔把数学作为他的哲学方法的模型。他不仅提供了人类知识的轮廓，而且试图构建一个具有数学确定性的思想体系。在对自然的外在看法上，他同意新时代伟大的自然科学家的观点:自然界的一切——甚至是心理过程和情感——都必须用机械的方法来解释，而不诉诸于形式或本质。同时，他接受了长期确立的唯心主义或唯心论哲学的基本原则，并试图使它们适应新科学的要求:他的问题是调和机械论与上帝、灵魂和自由的概念。

科学的分类

在笛卡尔看来，真正的哲学的第一部分是形而上学，它包含了知识的原理，如上帝的主要属性的定义，灵魂的非物质化以及我们所拥有的一切清晰简单的观念。第二部分是物理。在发现了物质事物的真正原理之后，我们通常会在物理学上研究整个宇宙是如何构成的，然后研究地球的性质以及在地球上发现的一切事物，比如空气、水、火、磁铁等物质，然后研究植物、动物尤其是人的性质，以便发现对我们有用的其他科学。

“所以哲学作为一个整体就像一棵树。这棵大树的根是玄学，树干是物理学，树干上长出的树枝都是其他科学，可以概括为三个主要部分:医学、力学和伦理学——我指的是更高、最完善的道德科学，它预设了其他科学的完整知识，是最高的智慧。”

笛卡尔的《哲学原理》第一部分包含形而上学，其他三部分处理“物理学中最一般的东西”。

知识的方法和标准

笛卡尔的目标是找到一些确定的、不证自明的真理，比如那些有常识和推理能力的人都会接受的真理。经院哲学不能给我们这样的知识。对同一主题有许多不同的观点，因此在经院哲学中寻求确定性是徒劳的。其他科学实际上采用的是经院哲学的原理，不可能在如此不稳定的基础上建立起坚实的东西。我们得到的是大量的错误观点，被错误和怀疑所包围，却没有清晰明确的知识。哲学中没有一个主题是无可争议的。因此，如果我们想在科学中拥有某些东西，我们必须摆脱这些观点，并从其基础上重建知识的建筑。

我们不能接受传统的观点，但我们必须研究自然这本大书。“即使读完了柏拉图和亚里士多德的全部论证，如果我们不能对任何命题形成合理的判断，我们也永远不可能成为哲学家。”知道别人的观点不是科学，是历史。人要独立思考。但是，当我们试图获得明确的知识时，我们应该如何行动呢？应该遵循什么方法？这个数学例子向我们展示了我们在推理中应该遵循的步骤。只有数学家才能找到确定的、不证自明的命题。毫无疑问，我们接受二加二等于四的说法，三角形的三个角之和等于两个直角之和。如果我们可能在哲学中找到类似的真理，无数的争论和争议就会停止:我们将能够证明上帝的存在、灵魂的不朽和外部世界的真实，也将为成功的科学建立安全的基础。

我们如何进行数学研究，遵循什么方法？我们从不证自明的公理或原理开始，所有知道并理解这些公理或原理的人都会接受它们。我们用这些公理作为我们推导其他命题的出发点，这些命题在逻辑上是从这些原理推导出来的。如果推理没有错误，这些命题与前者具有相同的确定性。也就是说，我们从一个简单的不证自明的命题开始，然后得到一个更复杂的命题。我们的方法是综合的和演绎的。

这种方法也必须扩展到哲学。我们应该从绝对确定性的基本原理和清晰自明的命题出发，获得同样确定的和新的未知真理。在传统的经院哲学中寻求这样的真理是徒劳的。因为在经院哲学中，我们得到的除了一堆分歧的意见，什么都没有。而我们不能接受任何只依赖于其他权威的真理。相反，我们必须自己寻求真相。我们不清楚明白的事，永远不要当成真的。我们应该警惕被童年时父母和老师灌输给我们的偏见和观念所影响。经验表明，这些观点很多都是错误的，也许全部都是。我们也不能相信自己的感觉，因为感觉往往会欺骗我们。怎么才能知道它们和实物一致呢？但是有没有可能我们不确定自己的身体和行为是否真实？是的，就连我们自己也不一定能确定这一点，因为我们经常被欺骗，经常做梦。在梦里，我们相信眼前有真实的东西，但那只是幻觉。也许此刻我们正在做梦，无法明确区分醒着和睡着。据我所知，可能是恶魔为了欺骗我，把我弄成这样。我给自己描述的世界可能只存在于我的想象中。在我的意识之外，魔鬼的世界可能并不存在。连数学证明都可以被怀疑，因为我们有时会看到人们在这类问题上犯错误，把我们认为是假的东西当成绝对确定性。

我不能完全确定任何想法。“由此，我假设我看到的一切都是假的，我相信我的欺骗性记忆呈现给我的一切都是不真实的。我以为我没什么感觉。物体、形状、延伸和位置只是我头脑的想象。那么还有什么可以被认为是真实的呢？也许这个世界上没有什么是确定的。”

但有一点是肯定的，那就是我怀疑或者认为。这是毫无疑问的。事实上，在思考时假设思考者不存在是矛盾的。笛卡尔并没有诉诸于经验心理学事实，即心灵本身的意识，而是从逻辑上推导出怀疑包含怀疑者，思维包含思考者，即一个思考的事物或精神实体。就这样，他得到了一个在他看来合情合理、不证自明的命题。它意味着怀疑思维，思维意味着存在，我思故我在——我思故我在。'对于以有序的方式进行哲学推理的人来说，这是第一个也是最确定的知识.'这就是我们在寻找的原则——我们形而上学的一个明确的、不言自明的起点。这个命题也为我们提供了真理的标准和检验。这个命题是绝对确定的，真实的，人们清楚地理解的。由此可以确立一个普遍原理:凡是和这个原理相似的，被人们清楚理解的，都是真实的。

笛卡尔简单的发现，引发了一场深刻的数学革命，致使拓扑学诞生

简介

面、边和顶点的数量不是独立的，而是以简单的方式联系在一起的。它利用最早的拓扑不变量的例子来区分具有不同拓扑结构的实体。拓扑学是纯数学中最重要、最有力的领域之一，是研究几何对象在连续变形后不变的性质。它帮助我们理解酶如何作用于细胞中的DNA，以及为什么天体的运动可以是混沌的。

欧拉立方体

随着19世纪接近尾声，数学家们开始发展一种新的几何，在这种几何中，长度和角度等熟悉的概念不再是关键，三角形、正方形和圆形之间也没有区别。它最初被称为位置分析，但数学家们很快找到了另一个名字:拓扑。

笛卡尔在1639年思考欧几里得的五个正多面体时注意到了拓扑学。于是笛卡尔把注意力转向了正立方体，也就是在这个时候，他注意到了关于正立方体的数律。立方体有6个面、12个边和8个顶点:

十二面体有12个面、30条边和20个顶点:

二十面体有20个面、30条边和12个顶点；+12的和等于2。同样的关系也适用于四面体和八面体。事实上，它适用于任何形状的固体，规则的或不规则的。如果一个实体有f个面，e个边和v个顶点，那么:

笛卡尔认为这个公式只是一个小发现，并没有发表。直到很久以后，数学家们才把这个简单的方程视为走向拓扑学的第一步。在19世纪，纯数学的三大支柱是代数、分析和几何。到了20世纪末，它变成了代数、分析和拓扑学。拓扑学通常被描述为“橡皮泥几何”。线可以弯曲、收缩或拉伸，而圆可以被挤压成三角形或正方形。保持连续性很重要。连续性是自然界的一个基本方面，也是数学的一个基本特征。今天我们主要是间接使用拓扑学。量子场论和符号分子DNA的一些性质需要通过拓扑学来理解。

欧拉在1750年和1751年证明并发表了这个关系。F-E+V的表达看起来挺随意的，但是结构很有意思。面(f)是二维多边形；边(e)是一条线，并且是一维的；顶点(v)是一个0维的点。在表达式+F-E+V中，“+”表示偶数维，“-”表示奇数维。这意味着可以通过合并面或删除边和顶点来简化实体。这些变化不会改变F-E+V的结果。

现在，让我解释一下。如图所示:

简化实体的关键步骤。从左至右:(1)开始；(2)合并相邻的面；(3)所有面合并后保留的“树”；(4)从树中删除边和顶点；(5)结束。

先把立体变成球体，它的边就是球体上的曲线。如果两个面共享同一条边，则可以删除这条边，并将两个面合并为一个面。因为这个合并把F和E都减1，所以不会改变F-E+V的结果，这样做，直到得到一个几乎覆盖整个球面的面(除了这个面，只剩下边和顶点)。它们必须形成一个没有闭合环的网络，因为球面上的任何闭合环都被至少两个面分开:一个在闭合环内，另一个在闭合环外。

这个过程将继续下去，直到球体上只剩下一个没有任何特征的顶点。现在V =1，E = 0，F =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2 .但既然F-E+V的每一步都是常数，那么它的初值也一定是2，这就是我们要证明的。

这个证明有两个组成部分。一种是简化过程:删除一个面和一个相邻的边，或者删除一个顶点和一个相交的边。另一种是不变，即无论何时执行简化过程中的某一步，它都保持不变。只要这两个分量同时存在，我们就可以尽可能简化任何初始对象的不变值，然后计算这个简化版本的不变值。因为它是一个不变量，所以这两个值必须相等。因为最后的结果很简单，所以不变量很容易计算。

事实上，笛卡尔的公式不适用于任何固体。最常见的不合适的固体是相框。想象一个木头做的四面相框。每条边的横截面为长方形，四个角由45°斜面连接，如下图所示。每边的木头贡献4个面，所以F = 16。每块木头也贡献了4条边，但是斜接在每个角上产生了4条边，所以E = 32。每个角包含4个顶点，所以V = 16。因此F-E+V =0。

有什么问题？

左:F-E+V =0的帧。右图:平滑简化后的相框最终结构。

F-E+V不变性没问题。简化流程没有问题。但是，如果总是消除边上的面或边上的顶点，那么最终的简化配置不是单个面上的单个顶点。上图右图:F =1，V =1，E =2。在此阶段，移除边只会将唯一剩余的面与其自身合并，因此对数字的更改不再偏移。这就是我们停下来的原因，但我们还是得到了答案:对于这个配置，F-E+V = 0。因此，该方法被完美地执行。它只是对相框产生了不同的效果。相框和正方体之间肯定有一些基本的区别，这些区别通过不变量F-E+V体现出来。

之前我跟你说过“把固体改造成球”。但这对于相框来说是不可能的。即使经过简化，它的形状也不像一个球体。它是一个圆环，看起来像一个轮胎，中间有一个洞。但是，F-E+V不变。这个证明告诉我们，任何可以变形为环面的立体都满足一个略有不同的方程:F-E +V = 0。因此，我们有了严格证明环面不能变形为球面的基础，即两个曲面在拓扑结构上是不同的。

当然，这是直觉上显而易见的，但现在我们可以用逻辑来支持直觉。就像欧几里德从点和线的明显性质出发，将其形式化为严格的几何理论一样，19世纪和20世纪的数学家发展了严格的拓扑理论。

左:2孔圆环。右图:3孔圆环。

像圆环体一样的实体，有两个或多个孔，如上图所示。结果表明，任何可变形为2孔环面的立体都满足F-E+V =-2，任何可变形为3孔环面的立体都满足F-E+V =-4，一般来说，任何可变形为G孔环面的立体都满足F-E+V = 2- 2g。

沿着笛卡尔和欧拉的思路，我们找到了固体的数量性质(面、顶点和边的数量)与带孔性质之间的关系。我们称F-E+V为立方体的欧拉特征。

我们数孔的数量，这是一个定量的运算，但“孔”本身是定性的，因为它根本不是一个固体的特征。直观上，它是空间中的一个区域，而固体不是。其实越是开始思考什么是洞(hole)的时候，越会意识到定义洞是相当棘手的，比如下图:

这是我最喜欢的例子之一。叫做“洞中之洞”。显然，你可以把一个洞穿过另一个洞。

情况变得越来越复杂。到19世纪末，它们在数学中无处不在——在复分析、代数几何和黎曼微分几何中。更糟糕的是，在纯数学和应用数学的所有领域，高维固体类似物都占据着中心地位。太阳系的动力学要求每个物体都有六个维度。它们具有更高维度的孔类似物。无论如何，有必要给这个新领域带来一点秩序。答案是:不变。

拓扑不变量的思想可以追溯到高斯对磁学的研究。他对磁力线和电力线是如何相互连接的感兴趣。他定义了连接数，即一条磁力线缠绕另一条磁力线的次数。这是一个拓扑不变量:如果曲线连续变形，它保持不变。高斯的学生约翰·李斯特和高斯的助手奥古斯特·莫比乌斯第一次知道了高斯的研究。李斯特在1847年的《拓扑学研究》中引入了“拓扑学”一词，而莫比乌斯则定义了连续变形的函数。

李斯特想推广欧拉公式。表达式F- E+V是一个组合不变量。孔洞数g是一个拓扑不变量:无论固体如何变形，只要变形是连续的，就不会改变。拓扑不变量捕捉形状的定性概念特征；组合函数提供了一种计算方法。两者的结合是非常强大的，因为我们可以用概念不变量来考虑形状，用组合不变量来确定我们要讨论的内容。

实际上，这个公式完全避开了定义“洞”这个棘手的问题。相反，我们把“孔数”定义为一个包，既不定义孔，也不计算有多少孔。具体怎么做？就是把欧拉公式F-E+V = 2-2g改写成这样的形式:

现在，我们可以通过在立体声上“取景”来计算G，计算F，E，V，然后把这些值代入公式。因为表达式是不变量，所以不管我们怎么划分实体，得到的答案总是一样的。但是我们所做的一切并不取决于洞的定义。反之，“孔数”就成了直观的解释。

这是拓扑学一个核心问题的重大突破:什么时候一个形状可以连续变化成另一个形状？也就是就拓扑学家而言，这两个形状是一样的吗？如果它们相同，它们的不变量也一定相同；反之，不变量不同，形状也会不同。因为球面具有欧拉特性2，圆环体具有欧拉特性0，所以不可能将球面连续变形为圆环体。

不明显的是，欧拉特性表明，这个令人费解的“洞中之洞”实际上只是一个伪装的三孔环面。曲面的大部分复杂性并不是来自于曲面固有的拓扑结构，而是来自于我选择将其嵌入空间的方式。

拓扑学中第一个真正重要的定理来自于欧拉特征线的公式。它是曲面的完整分类，曲面的二维形状，像球面或圆环面。此外还附加了一些技术条件:曲面要没有边界，范围要有限(术语为“紧致”)。

为了这个目的，表面本质上被描述；也就是说，它不存在于周围的空间中。一种方法是把这个表面想象成许多多边形区域，它们按照特定的规则沿着边缘粘在一起。

将正方形的边粘附在一起，形成一个圆环。

结合边界的可能性导致了一个相当奇怪的现象:只有一面的曲面。最著名的例子是莫比乌斯带，这是一条长方形的带子，两端以180°旋转粘在一起。莫比乌斯带只有一条边，因为长方形的两条分开的边是用半扭连接的。

我们可以很容易地做出一条莫比乌斯带，因为它可以自然地嵌入三维空间。这条带子只有一面，也就是说，如果你开始画它的一个面，然后继续画，最终你会覆盖整个面，正面和背面。

这是因为半扭连接前后。这不是一个固有的描述，因为它依赖于在空间中嵌入波段，有一个等价的，更专业的特征叫做方向性，这是固有的。

如果我们把一个长方形的两条边粘在一起，就像莫比乌斯带一样，然后再把另外两条边粘在一起，就不需要任何扭曲。这个表面被描绘成这样一个十字，它看起来像一个瓶颈通过侧壁和底部相连。它是克莱恩发明的，叫做克莱恩瓶。

克莱恩瓶没有边界，结构紧凑，所以任何表面分类都必须包含它。它是所有单面曲面家族中最著名的。

在数学的很多领域，曲面都是自然出现的。它们在复分析中很重要，在复分析中，曲面与函数行为异常的奇点相关，例如，导数不存在。奇异性是复分析中许多问题的关键。由于奇异性与曲面有关，曲面的拓扑结构为复变量分析提供了重要的技术。

大多数现代拓扑是高度抽象的，许多拓扑发生在四维或多维空间中。我们可以在更熟悉的环境中感受到主题: kink 。在现实世界中，绳结是用绳子打结而成的。拓扑学家需要一种方法来防止结从结的末端脱落，所以他们将结的末端连接在一起，形成一个闭环。纽结是嵌入空间的圆。本质上，纽结的拓扑结构与圆的拓扑结构相同，但在这种情况下，重要的是圆在周围空间中的位置。这似乎违背了拓扑学的精神，但结的本质在于弦环与周围空间的关系。通过不仅考虑回路，而且考虑它与空间的关系，拓扑学可以解决关于节点的重要问题。包括:

我们怎么知道一个结真的打好了？

我们如何区分拓扑中的不同结点？换句话说，是否可以在不切断结本身的情况下，将两个结从一个光滑地形改变到另一个光滑地形，仍然被认为是一个复杂的数学问题。纽结不变量是帮助解决这个问题的强大工具，我们将在接下来介绍它。

我们能把所有可能的结分类吗？

苏格兰理论物理学家彼得·泰特(Peter Tait)多年来研究出了最早的纽结分类表。1910年，Max Dern引入了纽结群的概念。1928年，詹姆斯·韦德·亚历山大引入了纽结多项式，这是一种更容易处理的不变量。这些都是纽结理论发展的重要进展。

大约在1960年以后，结论进入拓扑学的低潮，等待创造性的见解。1984年，新西兰数学家Vaughan Jones发明了一种新的纽结不变量，叫做Jones多项式，也是由纽结图和三种运动定义的。但是，这些移动不会保留结的拓扑类型。然而令人惊讶的是，这个想法还是可行的，琼斯多项式是纽结不变量。

琼斯的发现为他赢得了菲尔兹奖。也引发了新纽结不变量的爆炸。1985年，4组不同的数学家(8人)同时发现了琼斯多项式的同一个推广，并将他们的论文提交给了同一份杂志。四种证明都不一样，编辑说服了八位作者联合起来，发表了一篇联合文章。它们的不变量通常被称为HOMFLY多项式(基于名字的首字母)。但即使是琼斯多项式和HOMFLY多项式也没有完全回答纽结理论的三个问题。对所有可能的结进行系统的分类仍然是数学家的白日梦。

拓扑有许多用途，但它们通常是间接的。比如我们对混沌的理解，就是基于动力系统的拓扑特性。

拓扑学更深入的应用出现在基础物理学的最前沿。在这里，拓扑学的主要“消费者”是量子场论者，因为超弦理论，即量子力学和相对论的统一理论，是建立在拓扑学基础上的。这里，结论中费曼图的背景出现了一个类似的琼斯多项式。它展示了量子粒子，如电子和光子，如何在时间和空间中移动，碰撞，合并和分裂。曼图有点像结图。

对我来说，拓扑学最吸引人的应用之一是它在生物学中日益增加的应用，这有助于我们理解生物分子DNA的工作方式。因为DNA是双螺旋结构，就像两个缠绕在一起的螺旋楼梯。这两条链错综复杂地交织在一起，重要的生物过程，尤其是细胞分裂期间DNA复制的方式，必须将这种复杂的拓扑结构考虑在内。

一些被称为重组酶的酶切割两条DNA链，然后以不同的方式重新连接它们。为了确定这种酶在细胞中的作用，生物学家将这种酶应用于DNA的闭环。然后，他们用电子显微镜观察修改后的环的形状。如果酶将不同的链连接在一起，图像就是一个结:

如果酶将这些链分开，图像会显示两个相连的环。纽结理论的方法，如琼斯多项式和另一种称为“纠缠”的理论，使研究纽结和连接的发生成为可能，这些纽结和连接提供了有关酶作用的详细信息。

一般来说，日常生活中不会遇到拓扑。但在幕后，拓扑学贯穿了整个主流数学，使得其他具有更明显实际应用的技术得以发展。这就是为什么数学家认为拓扑学很重要，而数学以外的人很少听说过。