今天给各位分享笛卡尔的数学名言的知识，其中也会对《笛卡尔》，皮埃尔·笛卡尔进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！
本文导读目录：
7、笛卡尔一元论，笛卡尔一书说除了我是一个精神以外我什么都不承认
8、笛卡尔主张我思故我在这是一种，笛卡尔我思故我在及其思想意义
12、笛卡尔简单的发现，引发了一场深刻的数学革命，致使拓扑学诞生
《笛卡尔》，皮埃尔·笛卡尔
伦德斯卡特斯-法国(1596；1650)
不，他不是火枪手。他是法国最著名的数学家。
勒内·笛卡尔于1596年3月31日出生在蓝兔的拉哈耶村。他将由祖母抚养，因为他的母亲在他出生后不久就去世了。他的父亲是雷恩布列塔尼地方议会的顾问，几乎不参与他的教育，但保证了他舒适的生活。
8岁时，他进入著名的弗莱彻学院，在那里学习语言、诗歌、历史、神学、哲学和数学。1614年，他离开巴黎继续他的学业，在那里他遇到了克劳德·迈多奇(1585；647)和马林·梅森(马林·梅森，1588；1648)。20岁时，他进入普瓦捷学院学习法律，并获得了执照。
1617年，笛卡尔加入了拿骚王子的军队。这就是三十年战争。但他不是一个好士兵，身体虚弱，所以他不得不迅速退役，并于1621年定居巴黎。
笛卡尔成为荷兰物理学家艾萨克·比克曼(1588；1637年)，和他一起强调了物理和数学之间的关系。他们对落体力学提出了新的观点，并于1612年开始研究惯性定律。
1628年，他去了荷兰，直到1649年。在那里，他对哲学、形而上学和数学产生了兴趣。从1629年到1633年，笛卡尔写了《世界报》，这给教会带来了一些挫折。他提出了宇宙的物理理论，并声称能够科学地证明上帝的存在。
1637年，他出版了《几何》，其中第一本书是从“不使用圆和直线也能构造的问题”开始的。笛卡尔特别提出了基于泰勒斯定理的乘除法的尺子和指南针结构。
同年，他出版了《方法的发现》,在书中他解释了人类思想和行为的规则。
这种方法基于四个原则:
第一，永远不要接受任何东西，除非我清楚地知道它是真的:即小心避免仓促和偏见；在我的判断中，我只知道什么会在我的头脑中出现得如此清晰，以至于我没有理由去怀疑它。
第二，把我要检查的每一个难点尽可能分成很多部分，尽可能解决好。第三，有条不紊地引导我的思维，从最简单的物体和最容易认识的东西开始，一点一点往上爬，仿佛一步一步，直到最复杂的知识；甚至假设那些不自然地领先于对方的人之间的顺序。最后，有了这么完整的列举和各地的总评论，我肯定不会漏掉什么。
(法文原文)
总理也选择了不接待客人，因为我不知道该说什么。东海岸，d & # 39促进沉淀和预防；在我的句子中，没有一个词是正确的，因为它代表了我的智慧和独特的精神。你也可以在中午的时候喝一杯。
第二，困难是什么？examinerais，在autant de parcelles曲& # 39；il se pourrait，et qu & # 39他需要我的灵魂。
第三，第二，第三，第三，第四，第四，第五，第六。对plus compos的认知；并假设我的名字是l & # 39这是我们与众不同的地方。
更糟的是，除了提名者和一般评论者外，我不知道还有谁。
我们也来引用他的名言:“我思故我在。”-我想，不，我是。
1650年2月11日，在斯德哥尔摩，应十分仰慕他的克里斯蒂娜女王的邀请，他因肺部感染去世，享年53岁。
笛卡尔在科学界的影响是相当大的。正是他提出了我们在代数中所知道的现代符号，例如幂的指数。他建议用字母表的第一个字母表示已知量，最后一个字母表示未知量。即使在今天，参数通常表示为A、B或C，变量表示为X、Y或z。在他之前，符号对于执行计算来说很笨拙。杰罗姆·卡丹(1501；576)例如指出方阵和cubus代表x ^2和x ^ 3。
笛卡尔平面坐标系的参考。一则轶事告诉他，当观察一只苍蝇在窗玻璃上行走时，他会想用窗玻璃来定义平面图的坐标。“坐标”这个词不是他的。它来自德国数学家戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨(1646；1716)。因此，笛卡尔解释说，把几何问题当作数值问题是可能的。它使用代数计算，并大大简化了证明。为了研究曲线的性质，它通过由连接其坐标的关系确定的方程。这隐含地包含了曲线的所有属性。比如他通过方程的求解，研究了一条曲线的切线或者两条曲线的交点。这种几何现在有了一个名字:解析几何。
笛卡尔还陈述了一个空间的几何定理，这个定理后来被莱昂哈德·欧拉(1707；1783年)证明:
有f个面，a条边和s个顶点的多面体:f+s–a = 2
笛卡尔的哲学著作给人印象相当深刻，它表达了一种新的科学方法，尤其是数学方法。对于笛卡尔来说，科学家只承认被明确证明的是真的。认真解决问题，一步一步来，不忽略任何东西。在这里，我们看到一种新精神的诞生。通过他的名字和他的方法，笛卡尔给我们留下了形容词“笛卡尔”；我们说的是笛卡尔思维，它呈现出理性、清晰、逻辑和组织的特质。
最后需要说明的是，笛卡尔的故乡拉海耶改名为“笛卡尔”。但这不一般。想象一下，你出生的城市有一天会以你的名字命名！！！
备注:法文原文
关于数学逻辑的名言，逻辑理论家数学名著38个定理
伽利略78，经典力学，集合论，数理逻辑，数学名言
数学(百度百科):
…数字、学习、数学:参见欧几里德49 …
(…欧几里德:小说的标题…)
…
17世纪，在欧洲，变量概念的出现使人们开始研究变化中的量与量的关系，以及数字之间的相互转化。
…变化，数量，变量:参见欧几里德29 …
…概括、想法和概念:参见欧几里得21 ~ 23 …
…研究，研究，研究:参见欧几里德42 …
...关系，部门和关系:见欧几里德75...
在建立经典力学的过程中，结合几何精度思想的微积分方法被发明出来。
…力、学习和力学:参见伽利略9 …
...经典力学:经典力学的基本定律是牛顿运动定律或其他与牛顿定律有关的力学原理及其等价。是20世纪以前的力学，有两个基本假设:一个是时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的度量与观察者的运动无关，物质之间相互作用的传递是瞬间的；
第二，所有可观测的物理量，原则上都可以无限精确地测量。
20世纪以来，由于物理学的发展，经典力学的局限性在微观(量子尺度)、高速(接近光速)等领域暴露无遗…
(…基础，基础，基础:参见欧几里德2 …
…法律，法律，法律:参见欧几里德79 …
...原理、理由和原则:参见欧几里得41...
…时间、时间和时间:参见伽利略10 …
...太空，太空:参见伽利略10号...
…绝对，绝对，绝对:参见欧几里德172 …
…测量，测量，测量:参见欧几里德179 …
...物理，物理，化学，物理:参见欧几里德139...
…性别:1。物质的特性；物质的属性，因为它含有某种成分:粘性。玩~药~。碱~油~ 2。后缀，加在名词、动词或形容词后构成抽象名词或定语，表示某物的某种性质或性能:Party ~。纪律~创造~。适应~。上级~。万能~先天~。人气~...参见欧几里德10...)
随着自然科学技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论、数理逻辑等领域开始缓慢发展。
…自我、自然和本性:参见欧几里德128 …
…科目，学习，科学:参见欧几里德4 …
…自然科学:参见欧几里德159 …
…技巧，技巧，技巧:参见欧几里德104 …
…基础，基础，基础:参见欧几里德37 …
…逻辑，逻辑，逻辑:参见欧几里德5 …
...数理逻辑(百度百科):用数学方法研究形式逻辑的学科，属于形式逻辑的符号逻辑和数理逻辑...
(…形状，形式，形式:见欧几里德13 …
…符号，记号，符号:参见欧几里德160，161 …
…:后缀。加名词或形容词构成动词，表示变成某种性质或状态:绿~。美~恶~。电气~。机械~水利~...参见欧几里德2...)
……数理逻辑(百度中文)2:用数学方法研究推理、计算等逻辑问题。也被称为符号逻辑…
(…推，推理和推理:见欧几里德12 …)
数学名言
一切都很重要。毕达哥拉斯
几何没有王者。-欧几里德
数学是上帝用来书写宇宙的词。伽利略
我决心放弃那种只是抽象的几何学。也就是说，不要去想那些只用来实践想法的问题。我这样做是为了研究另一种几何，即以解释自然现象为目的的几何。——笛卡尔(勒内·笛卡尔，1596~1650年)
…抽象、形象和抽象:参见欧几里德20，21 …
数学中一些漂亮的定理有以下特点:可以很容易地从事实中归纳出来，但其证明却隐藏得很深。是数学科学之王。高斯
...定理，定理:见欧几里德2...
这就是结构良好的语言的优势。它的简化符号通常是深奥理论的来源。——皮埃尔·西蒙·拉普拉斯(1749~1827)
音乐可以激发或抚慰感情，绘画可以取悦眼睛，诗歌可以触动心灵，哲学可以获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学可以给予以上一切。——克莱因(克里斯蒂安·费利克斯·克莱因，1849~1925)
只要一个科学分支能够提出大量的问题，它就会充满活力，没有问题就表明独立发展的终止或衰落。——戴维·希尔伯特(1862~1943)
问题是数学的核心——保罗·哈尔莫斯(1916~2006)
时间是一个常数，但对于勤奋的人来说，它是一个变量。用分钟计算时间的人比用小时计算时间的人多59倍的时间。——雷巴科夫
数学(百度中文)2:研究现实世界中空间形式和数量关系的科学。
…数量，数量，数量:参见伽利略39，40 …
它的数学理论是严格的、抽象的、应用广泛的。
…理论，理论，理论:参见欧几里德5 …
…应用、使用和应用:参见欧几里德181 …
“虽然数学定理经常被数学家命名，但这些定理就像客观存在于宇宙中的天体一样。无论它们是否被地球人观察到并命名，它们都在那里，或明或暗，或明或暗，对一些人来说是亮的，但对另一些人来说是暗的。
请看下集伽利略79，数学被发现了！！不是发明的！》'
不了解历史，就看不清未来。
欢迎“人性的游戏”
关于笛卡尔的介绍以下描述正确的是，关于笛卡尔的电影
在笛卡尔的形而上学中，“绝对、完美、无限”的概念是认识可能性的必要前提。对于笛卡尔来说，如果“无限”没有首先存在并被思想，那么“有限事物”的发生和感知将是不可想象的。因为作为思想者的这个“我”是有限的；所以，我认为必须有“绝对”作为保证。
关于无限和绝对，我首先想到的是“之间”——也就是说，所有有限的存在物“之间”是什么？为什么这个“之间”能使所有为自己而存在的有限存在，包括我想，同时处于一种关系的可能性中——即处于为别的东西而存在的可能性中？
与有限的存在物相比，我认为首先发生并连接一切的是这个“之间”，是“不是任何有限的存在”的东西。正是这个东西——它预先为其行动范围内的一切事物之间的关系确立了基本的合法性。
这样，那些有限的东西就可以说是在“之间”之后，甚至从属于“之间”，因为现在看来，我们可以理解这个“之间”，做一个具体的方向的解释和研究，但还停留在通过感官和意识的关系来影响这个秩序的层面。(当然，戴眼镜只是改变了感性材料的生产条件，但生产关系的基本规则即空间关系不变。)
所以可以说，我们是按照“之间”定下的基调行事的。
让我们回到笛卡尔理论的出发点，“那是明确的、确定的”，即“无可争辩的、不容置疑的事实”。通过他的“工具怀疑”，笛卡尔得到了他的哲学中的第一个基本定律(我思故我在)；但是，他不得不把上帝的观念作为真实的东西的保证(有点不要脸)，他对上帝的认识只是需要建立在确定性和真实性的前提下。这就是所谓的“笛卡尔循环”。
笛卡尔继承并发展了“绝对”的传统，这种绝对的实体是不可分的。笛卡尔将一种特定的存在——意识——解释为一种物质，以区别于世界上的其他事物。在他的绝对实体的基础上，他定义了两个不同的实体:意识和物质。
意识自在。“我思”的绝对知识和“我所思”的知识，即“那个绝对”和“那个偶然”的区别，是两个不同实体的区别:精神的“知识实体”和物质的“空间延伸实体”在这里，思考你对自己的认识成为必然，而思考的对象成为偶然。
但是笛卡尔的“工具怀疑”中隐藏着一个致命的问题，因为当人们说“我不能怀疑这个怀疑我”的时候，什么是怀疑，什么是我——事先已经做了非常明确的预设，以至于怀疑无法在所有对象的表现中达到同样的表现，只能在“我”中，这种特权是非常不恰当的。
怀疑作为一种有意识的活动，需要事先设定认知对象——关于认知对象的具体命题，并处理好这个思维过程——认知过程(出现的内容)。它从一种直观现象(思维本身与之相联系的对象也是它的本体:无限或整体——主体是实体)转变为一种本质概念，并最终回归到自身，是一种必然的结果。
因此，怀疑的前提不是“我思存在”，而是“概念运动中的怀疑”和“使怀疑成为可能的具体命题(规则)的存在，以及使概念本身成为可能的限制条件的存在，概念与存在的关系”。
——首先，有一个背景秩序，为命题的存在奠定基础，让思想者进行概念活动。按照这个顺序，可疑的行动通过一个作为思考对象而存在的命题来实现自己。
因此，我们将在这个建立、动员和应用概念的活动中看到，不仅怀疑是有限的，而且这个怀疑的行动者也必然会给自己设限，因为怀疑的活动(思想)看到自己的受限状态的方式必然不同于身体看到自己的受限状态的方式。
一切发生在身体的限制状态，都包含着许多由其他事物(客体世界)所设置的边界、内容或“实体”，身体的状态当然不是与心灵完全对立的。这是一个显而易见的事实:身体的独立变化也可能引起心灵的变化。只有位于身体之外的思想——这样，思想范围内的一切限制，如果不是来自身体与世界的互动状态，必然来自思想本身主动设置命题的活动，或者说语言活动。
在这个设定命题和命题规则的过程中，意识主动地限制自己(自由)，进而完成一个能在自身内部发挥作用、暂时不受客体世界客观条件限制的秩序场——在意识范围内建立的秩序。如果它还设置了另一个规则，允许自己不断地重新认识客观活动并进行自我批判(限制)，那么这个秩序场不仅会通过形式逻辑观察自身的内部矛盾，而且(尽管这种认识和交流的结果起初可能只以理论或概念的形式保存下来。)
学好数学励志名言，关于数学的励志格言精选句子
数学是训练思维的体操。学好数学将使我们终身受益。来看看为大家精心推荐的励志格言吧。希望朋友们能从以下励志格言中有所收获。
关于数学的励志格言精选1:
1.数学主宰宇宙。毕达哥拉斯
2.数学是知识的工具，也是其他知识工具的源泉。所有研究秩序和度量的科学都与数学有关。笛卡儿
数学是一种理性精神，它使人类的思维能够被运用到最完美的程度。克莱因
4.数学是一种会不断进化的文化。王尔德
5.数学是一门独特的艺术
6.数学是所有知识的最高形式。柏拉图
7.数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。8.恩格斯的数学是研究抽象结构的理论。布尔巴基学校
9.数学是一门无限的科学。赫尔曼尔
10.数学是上帝描述自然的符号。黑格尔
11.数学是人类智慧皇冠上最璀璨的明珠。考特
12.数学是人类思维的最高成就。米斯拉
13.数学是科学之王。高斯
14.数学是各种证明技巧。维特根斯坦
15.数学是符号加逻辑。罗素
16.数学是科学的关键。培根
17.数学家痴迷于自然，没有自然就没有数学。努瓦莱斯
18.数学方法渗透并支配着自然科学的所有理论分支。它日益成为科学成就的主要标志。冯·纽曼
19.数学发明的动机不是推理，而是想象。演示20。数学为观察自然做出了重要贡献。它解释了规则结构中简单的原始元素，天体就是用这些原始元素建造的。开普勒
21.数学的本质在于自由。康？/
2.数学，科学女王；数论，数学女王。CF高斯
23.纯数学是魔术师真正的魔杖。诺瓦利斯
24.数学中一些漂亮的定理都有这样的特点:可以很容易地从事实中归纳出来，但其证明却极其隐蔽。高斯
25.上帝是算术家雅各比。
无穷笛卡尔积，笛卡尔空间
勒内·笛卡尔(勒内·笛卡尔)，法国著名的哲学家、科学家和数学家，是现代西方哲学的创始人之一，解析几何的创始人。他于1596年3月31日出生在法国昂代卢瓦尔的一个贵族家庭。他的父亲是布列塔尼的议会议员，笛卡尔的母亲在他1岁时死于肺结核。他也被感染了，身体虚弱。他母亲去世后，他父亲搬到了另一个地方，并再婚了。笛卡尔是由祖母带大的。虽然他的父亲和儿子很少见面，但他的父亲总是提供资金帮助他接受良好的教育。当笛卡尔8岁时，他进入了Loughreith耶稣英语社会学校，在那里他在古典研究和数学方面受到了良好的训练。1613年，他去普瓦捷大学学习法律。1616年毕业后，他对自己的职业前途未卜。1618年，他在荷兰参军进行长途旅行，在军营中对数学产生了兴趣。一位在数学和物理方面造诣很高的战友成为他的老师，笛卡尔于1621年退伍。笛卡尔26岁卖掉父亲留下的资产，花了4年时间在欧洲旅行，1628年移居荷兰，在那里生活了20多年。在此期间，他致力于科学研究，广泛研究了法律、医学、力学、数学、光学、气象学等。，接触了各个领域的学者，逐渐形成了自己的思想。他出版了许多重要的文集，包括几何学、方法论和气象学。1663年，他的作品在罗马和巴黎被禁，直到1740年巴黎才解禁。
到了伽利略时代，人类对宇宙的认知过程是一个从神话到理性，从“天是圆的地方”到“地心说”到“日心说”，从“正圆”到“椭圆”的过程。这个时候，人们仍然认为宇宙是有边界的，仍然没有宇宙大小的概念。星星之外住着“神”。就连发明天文望远镜的伽利略也认为宇宙是有限有界的，伽利略甚至只接受了“正圆”理论。
但是法国科学家笛卡尔提出了相反的观点。宇宙是无限的。勒内·笛卡尔(勒内·笛卡尔)，1596年出生于法国卢瓦尔河畔的都兰。法国哲学家、数学家和物理学家。他发明了坐标系，被称为“解析几何之父”。他也是现代西方哲学的创始人之一，现代唯物主义的先驱。他提出了“普遍怀疑”的思想，有句名言“我思故我在”。
笛卡尔出生在一个普通的贵族家庭，从小体弱多病。20岁时，他进入普瓦捷大学学习法律。他认为很多知识都是不确定的，除了数学，所以他很喜欢数学。
笛卡尔于1628年移居荷兰，他几乎所有的主要作品都是在这个阶段完成的。在物理学中，笛卡尔提出了能量守恒模型和圆周运动的离心倾向。在天文学上，笛卡尔打破了仍然禁锢在哥白尼、伽利略、开普勒头脑中的有限宇宙的概念，提出了无限宇宙的概念。他认为宇宙是一个充满物质的空间，物质的运动形成一个漩涡。
笛卡尔在1628年完成了指导哲学的原则。634《世界大全》，它以哥白尼学说为基础，总结了作者对哲学、数学和许多自然科学问题的看法。1632年，罗马教会对伽利略的迫害波及荷兰，笛卡尔不敢发表这部著作。因此，直到1664年笛卡尔去世，这本书才得以出版。1637年，《方法论》完成，其中包含三个独立的附录:折射光学、气象学和几何学。在几何学中，笛卡尔提出了“笛卡尔坐标系”这一重要概念。代数从此可以应用于几何，从而奠定了解析几何的基础。仅凭这一点贡献，笛卡尔就可以在科学史上扬名。1641年，他完成了对第一哲学的沉思。1644年，他完成了《哲学原理和冥想录》。
笛卡尔比伽利略晚出生32年却仅晚去世8年，可以算是同时代人。笛卡尔第一次提出了坐标系的概念，在一定程度上研究了光学，尤其是碰撞运动，提出了运动中总动量守恒的思想，这就是后来动量守恒原理的雏形。
笛卡尔对惯性概念的发展做出了重要贡献。首先，他坚持惯性运动必须是线性的，在圆周或曲线上运动的物体必须受到某种外部原因的限制。因此，他提出了圆周运动中的离心倾向，这是力学分析圆周运动的第一步。
尤其重要的进步是笛卡尔打破了哥白尼、伽利略和开普勒头脑中仍然禁锢的有限宇宙概念，提出了无限宇宙的概念。笛卡尔的宇宙是一个充满物质的空间，这些充满空间的物质的运动形成了无数的漩涡。笛卡尔提出我们的太阳系就在这样一个旋涡中，这个旋涡是如此的巨大，以至于土星的整个轨道相对于整个旋涡来说只是一个点。漩涡的大部分区域都充满了微小的球，由于不断的相互碰撞，这些球变成了完美的球体。笛卡尔称这些球为“第二元素”。而第一个元素是极细的粒子，也就是所谓的以太——17世纪发展起来的一个概念，不同于亚里士多德的以太概念。笛卡尔宇宙中还有第三种物质形式。这些是更大的粒子，构成了像行星这样的大型物体。每一颗行星都有逃离漩涡中心的趋势，但构成漩涡的其他物质的离心倾向所产生的反作用力会抵消它。在这种动态平衡下，行星的轨道就确定了。(图6.17笛卡尔的涡旋理论(左)和彗星形成理论(右)
左图:宇宙中有无数个漩涡，每颗恒星都是一个漩涡中心。旋涡可能坍缩，恒星可能逃入相邻的旋涡；右图:恒星N逃逸到太阳系漩涡中继续前进的路径，这就是彗星的形成。所以按照笛卡尔的说法，所有的彗星都是一次性的，哈雷的预言完全否定了笛卡尔的旋涡理论。
笛卡尔的涡旋理论是第一个取代中世纪水晶球模型的宇宙学理论。虽然开普勒的行星运动理论具有优越的简单性和数学严谨性，但开普勒定律所依据的原理来自毕达哥拉斯和柏拉图的哲学，带有一些亚里士多德的物理学。这在现代机械论哲学中是不可接受的。因此，笛卡尔的涡旋模型一度成为17世纪占主导地位的宇宙学理论。直到牛顿提出万有引力定律，涡旋理论才慢慢退出历史舞台。
正如伽利略被尊称为“现代科学之父”，笛卡尔被尊称为“现代哲学之父”，笛卡尔的主要成就都在哲学方面。从人类到宇宙，笛卡尔视其为机器。笛卡尔创立的这一机械论哲学影响深远，成为后来科学家研究自然的基本思维方法。
从哥白尼到笛卡尔的一个世纪里，天文学和天文学家研究的宇宙发生了变化。几十年内，天文学家已经理解了重复和精确观测的重要性，他们还发现了如何设计仪器来扩展人类的感官。尽管笛卡尔主义大行其道，尽管笛卡尔主义可以解释天体的当前状态，但它无法预测它们在未来将如何运行。牛顿定量物理学的预言能力将在时间中证明其不可抗拒性，届时笛卡尔将与亚里士多德一起进入历史。
笛卡尔的涡旋理论是第一个取代水晶球理论的宇宙模型理论，一度成为17世纪占主导地位的宇宙理论。直到牛顿提出万有定理，涡旋理论才退出历史舞台。
1649年，年轻的瑞典女王克里斯蒂娜(Queen Christina)仰慕笛卡尔的名字，想向他学习。笛卡尔很高兴去申请斯德哥尔摩法庭的哲学家职位。但是勤奋的女王每周三早上5点都要学习。正因如此，笛卡尔一生不得不改变习惯，因为他体弱多病。他从小就是一个12点才起床的人。笛卡尔在北欧凶猛的寒风中赶到皇宫，不出几个月，他就感染了感冒，死于肺炎，笛卡尔的母亲也死于肺炎。传说克里斯蒂娜女王，在笛卡尔死后的几个月内，竟然放弃了王位，皈依了笛卡尔的信仰——天主教。
笛卡尔是17世纪及以后欧洲哲学和科学界最有影响力的大师之一，被誉为“近代科学的始祖”。
笛卡尔对人类眼中宇宙的解释笛卡尔谈关于行星运动的几种假说
当一个水手在海洋中的一个阳光明媚的季节从自己的船上环顾四周，看着其他离得很远的船相互交换位置时，他常常会陷入怀疑，不敢说引起这种位置变化的运动应该归于这个或那个船，甚至是自己的船。同样，每颗行星的路线，从地球上看，都属于那一类，这使得我们无法简单地根据观察到的运动，就知道我们应该把自己的原始运动归于哪个具体的天体。由于它们的路线非常不同和复杂，所以不容易解释它们。只能从那些能解释它们各种运动的理论中选择一种范式，假设所有这些运动都是按照它发生的。为此，天文学家提出了三种不同的假说，即三种假说，这三种假说并不被认为是真的，而是被认为适合于解释现象。这些假设中的第一个是托勒密的。因为它与最近的许多观测(特别是在金星上观测到的得失如同在月球上观测到的一样)相冲突，所以现在被所有哲学家一致否定，这里就不提了。
第二个假说是哥白尼的，第三个是第谷·布拉赫的。两者都只是作为假设，用同样的方式解释各种现象。没有显著的区别，但是哥白尼的说法更简单明了。诚然，第谷不必改变它。与简单的假设相反，他没有试图揭示事情的实际真相。
哥白尼毫不犹豫地把运动归因于地球，但第谷在这一点上不得不纠正他，认为从物理学的角度来看这是荒谬的，与人类的普遍意见相冲突。但他对运动的真正本质关注不够。因此，虽然他口头上坚持地球是静止的，但实际上他把比哥白尼更多的运动归功于地球。
我的主张与哥白尼和第谷的主张唯一不同的是，我建议避免把任何运动归于地球，这比第谷更接近事实，比哥白尼更谨慎。我想提出的假设是最简单的，可以用来理解各种现象，研究其自然原因。我想把它仅仅当作一个假设(或错误的假设)，而不是真理。
笛卡尔对新世界的描述
请让你的思绪暂时离开我们的世界，去看另一个全新的世界；那个世界，我要让它出现在那些想象的空间里。哲学家告诉我们，这些空间是无限的；他们的话真的应该被信任，因为他们创造了这些空间。但是，为了让这个无限不妨碍我们，不使我们陷入迷宫，我们不应该走向极端，只要能够超越五六千年前上帝所创造的一切生物的视界就够了；当我们到达某个地方，我们想象着上帝在我们周围重新创造了如此多的物质，以至于我们的想象力无论延伸多远都看不到任何空虚。
大海虽然不是无限的，但那些坐在海里的小船上的人，似乎可以把眼界伸展到无限；然而，除了他们能看到的，还有水。所以，虽然我们的想象力似乎延伸到无限，但这种新物质并没有被视为无限；我们完全可以想象它所填充的空间比我们曾经想象过的所有空间都要大得多。但是，为了保证我们的想象力不包含任何可挑剔的东西，我们不应该允许我们的想象力自由伸展，而只是把它的活动范围限制在一个特定的空间，例如，只在从地球到天空中一些主要恒星的距离内，把上帝创造的物质设定为从各方面向外伸展到一个不确定的距离。因为对我们来说，划定我们自己的思想活动的范围比划定上帝的作品的范围要合适得多，所以我们完全有权利这样做。
既然我们可以按照自己的幻想自由地塑造这种物质，那么我们就可以规定它具有这样一种性质，所有的人都可以掌握它。为此，我们可以明确地设定，这种物质没有土、火、气的形态，也没有木、石、金属的更为专门化的形态，也没有冷、热、干、湿、轻、重的属性，还有味觉、嗅觉、声音、颜色、光的属性。这些属性的本质可以说包含了不是所有人都懂的东西。
另一方面，我们不应该认为这是哲学家的那种“第一物质”，除了所有的形式和性质，没有留下可理解的成分。我们应该把它看作一个真实的、完全立体的形式，它平等地填满了那个巨大空间的长、宽、高。我们的思想停在这个空间的中心，所以它的每一部分总会占据这个空间的一部分，它的大小非常适合这个部分。它既不能填满较大的部分，也不能挤进较小的部分。当它停留在那里时，它不会允许其他人出现在那里。
我们还要补充:这种物质可以分成各种部分，可以采取我们能想象到的所有形状；它的每一部分都可以带走我们能想象到的所有动作。而我们要设定它:上帝其实已经把它分成了很多这样的部分，有的大一些，有的小一些，有的是一种形状，有的是另一种形状，可以按照我们喜欢的形状来塑造。不是上帝把他们分开，所以他们之间有某种空虚；我们应该认为:上帝设定的这些部分之间的所有差异，都在于上帝赋予它们的不同运动；从它们被创造的第一刻起，上帝就让它们有的朝这个方向运动，有的朝那个方向运动，有的快一些，有的慢一些(或者完全不动)，然后让它们按照自然的一般规律运动。因为上帝已经很好地确立了这些规律，即使我们设定上帝创造的东西仅限于我所说的，甚至认为上帝没有把任何顺序和比例放在里面，而是让它变得混乱，非常混乱，非常凌乱，就像诗人所能描述的那样。但是，这些规律足以把这个混乱的所有部分梳理出来，排列成一个美丽的顺序。他们将拥有世界最完美的形态，在其中不仅能看到光，还能看到光。
不过，在我给出长篇大论的解释之前，请先停一会儿，看看这一片混乱。注意，这里面没有什么是你完全不知道的，你甚至不能假装对此一无所知。因为，只要你留心就会知道，我放在那里的属性，只有你能想象的。而且，我用来形成这种混沌的物质，是各种无生命造物中最简单最容易认识的；它的想法属于我们的想象力可以形成的那种。你必须想象出来，否则你什么也想象不出来。
尽管如此，那些哲学家非常机智，善于在别人认为非常清楚的事情中发现困难。他们也知道自己的“第一物质”是相当难以想象的，但他们还是把它记在心里，所以他们无法转过身去认识我说的这个物质。所以我在这里要告诉他们，如果我是对的，他们之所以觉得难，只是因为他们要求把物质的内在量和物质的外在外延分开。所谓外延，就是物质占据空间的那种性质。不过，我很愿意让他们相信他们是对的，因为我不会停止反驳他们。但是，如果我把我所描述的物质的量设定为不同于它的实体，就像数不同于事物的数一样；如果我把它的外延或者占位性质不是作为一种二元性，而是作为它的真实形式或者它的本质，那么他们应该不会发现什么奇怪的东西:因为他们不能否认，这样看待物质是非常容易的。我不打算像他们那样去解释一个现实世界中的各种实际事物，我只打算从这个材料中随意创造一个世界。这个世界上没有什么东西是最迟钝的头脑也想象不到的，也没有什么东西是可以像我想象的那样被创造出来的。
如果我在这个世界上放一点点暧昧，大概是某种隐藏的矛盾造成了这种暧昧，只是我没有注意到这种矛盾。就这样，我因缺乏思考而定下了一件不可能的事情。相反，如果我放在这个世界上的东西可以被清晰地想象出来，那么很明显，即使旧世界没有这样的东西，上帝也会在一个新的世界里创造出来，因为上帝确实可以创造出我们所能想象的一切。
笛卡尔名言
当一个人被情感支配时，他的行为就没有了自主权，而是被命运宰割。
当感情只是说服我们去做可以拖延的事情时，我们应该克制自己不要马上做出任何判断，用其他的想法让自己冷静下来，直到时间和休息完全平复了我们血液中的情绪。
读所有的好书意味着和许多高尚的人交谈。
读一本好书，就像拜访那些著书的先贤，与他们促膝谈心，而且是一次高超的交谈。
所有的好书读起来都像是和过去最杰出的人的对话。
你学得越多，就越发现自己的无知。
所有的好书读起来都像是在和过去世界上最杰出的人交谈。
恐惧的主要原因是惊讶。摆脱它的最好方法是提前思考，为所有的意外事件做好准备(意外是由对它们的恐惧引起的)。
当我怀疑万物的存在时，我也不必怀疑自己的思想，因为这个时候我唯一能确定的就是自己思想的存在。
我思故我在。
我想，所以我活。
我的反对在两方面对我有利。一方面让我认识到自己的错误，另一方面大多数人比一个看得更清楚。
我努力学习没有别的好处，只是越来越意识到自己的无知。
尊重别人才能让人尊重。
行为非常腐败的人，只要开始走正道，就能走在那些跑偏正道的人前面很多。
在这个世界上，良心是最公平分配的。
意志、理解、想象和感觉的所有功能都来自于思考。
笛卡尔认为宇宙无处不包含数学，数学是万物之根。
[评论]
《语文学与汞学婚姻》,佛罗伦萨，Laurenziana医学图书馆，圣马可190年，102页
哥白尼，解释天体运动假说，收录于宣焕灿《天文经典译文选》，知识出版社，1989年4月，第60-74页。
法国数学家笛卡尔，数学家笛卡尔和公主
“我只要求平静和安宁”
“我思故我在”
这两句话出自笛卡尔，大概是因为思考，所以他一生都在追求和平与宁静，最后却死于束缚。
童年
596年，笛卡尔出生在战争中重建宗教和政治的欧洲。他处在一个旧秩序已经消亡，新秩序尚未建立的时代。社会混乱仍在继续。幸运的是，这一时期值得理智地记住:费马和帕斯卡是他的数学同时代人；莎士比亚去世时，笛卡尔20岁；笛卡尔比伽利略多活了8年，笛卡尔去世时8岁的牛顿接过了接力棒；血液循环的发现者哈维比笛卡尔多活了七年，而奠定电磁学基础的吉尔伯特在笛卡尔七岁时就去世了。
笛卡尔来自一个古老的贵族家庭。他是第三个也是最后一个孩子，他的母亲在他出生后几天就去世了。笛卡尔的父亲看起来是个很懂事的人，已经竭尽所能弥补孩子们母爱的缺失。一位优秀的护士代替了她的母亲。再婚的父亲总是用睿智的眼光看着他的“小哲学家”。这个小哲学家一直想知道太阳下万物的起源，以及奶妈告诉他的天国的秘密。
笛卡尔从小身体虚弱，学校的院长告诉他，早上想躺多久就躺多久。从那以后，笛卡尔一生都保持着这个习惯，除了在她生命即将结束的不幸时期。当他想思考的时候，他在床上度过他的早晨。当他在中年回顾自己的学生生活时，他曾经断言，那些在沉默冥想中度过的早晨是他哲学和数学思想的真正来源。
可能是有一天早上，笛卡尔躺在床上，看着天花板思考，看到了停在墙上的苍蝇，从而有了笛卡尔坐标系。
青年
18岁之前，笛卡尔沉浸在思考中。18岁的时候，笛卡尔突然对自己平时的研究有点厌倦了。他决定出去看看这个世界，从生活中学习。笛卡尔家境富裕，他完全可以享受到和他同龄、同地位的年轻人的快乐。他抛弃了父亲庄园里压抑内敛的生活，和其他几个轻佻的孩子留在巴黎，狂热地赌博。
好在这种情况没有持续多久。笛卡尔厌倦了他的猥琐同伴，离开了他们，在郊区租了一间房子，连续两年致力于数学研究。但是他的同伴没有放他走。为了逃离这些人，获得安宁，笛卡尔决定参军。
在活跃的生活中，笛卡尔经常要去军营寻找安宁，躲避他好奇而苛求的朋友，寻求他渴望并在孤独中沉思的安宁。数学应该代他感谢战神，因为很多战斗中没有一颗子弹打掉他的脑袋。将近三个世纪后(第一次世界大战)，20位有前途的年轻数学家就没那么幸运了。
笛卡尔非常喜欢女人，甚至和一个女人生了一个女儿，但是那个孩子的死深深地影响了笛卡尔。他从未结婚。也许，就像他对一个期待和他结婚的女人说的那样，他更喜欢真实而不是美丽。但似乎更有可能的是，他不会把自己的安宁和平静抵押给某个肥胖、富有的荷兰寡妇。
但是笛卡尔似乎也不是一个无情的人。他从未强迫家人接受他偶尔为自己制定的斯巴达养生法。他的仆人都很爱他，他也很关心他们的经济状况。临终前，他跟随自己的小厮，为失去主人而悲痛良久。
还有一个怪癖影响着笛卡尔，他在部队里也逐渐被问到。童年时的溺爱总让笛卡尔感到恶心，多年来对死亡的恐惧让他望而却步。这无疑是他生物学研究的起源。人到中年，他可以坦诚地说，自然是最好的医生，保持健康的秘诀就是丢掉对死亡的恐惧。
笛卡尔的许多科学成果都是在朋友的敦促下发表的。他写了一本书《论世界》，在书中他阐述了哥白尼体系。笛卡尔在最终完成他的工作之前，焦急地等待着伽利略最新著作的出版。但我收到了一个令人眩晕的消息:伽利略尽管已经70岁了，还是被送进了宗教裁判所，被迫下跪发誓放弃哥白尼日心说这个异端邪说。他决定在他死后出版关于世界的书。
自1641年以来，笛卡尔一直住在荷兰一个安静的村庄里。被流放的伊丽莎白公主，一个当时喜欢学习的年轻女子，也和她的母亲住在这里。公主在学习上是个天才，无论是数学还是其他科学都不能让她满意。后来她读了笛卡尔的书，伊丽莎白坚持要笛卡尔给她上课。在公开场合，笛卡尔宣称“在我所有的学生中，只有她完全理解我的作品。”他是真的以父爱和平等的方式喜欢她，但他没有向她求婚，她也没有。伊丽莎白离开荷兰后，一直与笛卡尔保持通信，直到他去世。
停止
当笛卡尔越来越出名的时候，瑞典的克里斯蒂娜女王知道了他。这个有些男人味的女王当时19岁，已经是一个有能力的统治者了。她可以骑马10个小时不休息，吃得很少，在瑞典的隆冬，她可以像冬眠的青蛙一样在没有火的图书馆里坐几个小时。她的服务员，通过他们与寒冷作斗争的牙齿，要求她打开所有的窗户，让美丽的雪花飘进来。
圣上暴君看到笛卡尔哲学的那一刻，决定把可怜的瞌睡虫头弄来，做她的私人老师。笛卡尔直到1649年才同意，笛卡尔屈服了，于是他最后环顾了一下自己的小花园，锁上门，永远离开了这里。
克里斯蒂娜认为，对于像她这样忙碌而坚强的年轻女性来说，早上五点钟是学习哲学的合适时间。笛卡尔宁愿用基督教国家所有刚愎自用的女王换来一个月的睡眠，但他仍然在黑暗中尽职尽责地从床上爬起来，在这个邪恶的时刻爬上了派来接他的马车。
也许正是在这一生中，笛卡尔的健康越来越虚弱，于1650年2月11日去世，享年54岁。笛卡尔死后不久，他的书在教会被禁。
我们以阿达玛的话结束:知道一个通用的方法和坚持它所代表的概念是完全不同的两回事。每个真正的数学家都知道这一壮举的重要性。这的确是笛卡尔在几何方面的杰出成就...坐标法的应用不仅将几何定义的曲线转化为方程，而且从完全相反的角度预先定义日益复杂的曲线...
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笛卡尔一元论，笛卡尔一书说除了我是一个精神以外我什么都不承认
勒内·笛卡尔(1596 ~1650)出生于都兰拉哈耶的一个贵族家庭。他在Loughreis的耶稣会学校接受教育，学习古代语言、经院哲学和数学。他在数学研究中找到了他渴望的确定性和清晰性，但他对其他学科并不满意。1612年离开学校时，他放弃了对这些学科的研究，而只追求“在他自己或世界的伟大著作中发现的”科学。他周游世界，享受尘世生活。617年和1619年，他加入了拿骚的莫里斯和提利将军的军队，与各种各样的人交往。在此期间，笛卡尔的知识兴趣从未减弱。人们经常发现他处于冥想状态，甚至在军队总部也是如此。如何在哲学中获得和数学一样的确定性，引起了他的兴趣。他祈祷上帝的启示，并发誓如果他的祈祷得到回应，他会去拉雷多的寺庙朝拜。笛卡尔于1621年离开军队，花时间旅行和学习(1621 ~1625)。他和科学界的朋友在巴黎呆了三年(1625 ~1628)，但觉得需要独处，于是去了荷兰。在那里，他忙于准备自己的作品(1629-1649)。1649年，笛卡尔接受了对哲学非常感兴趣的克里斯蒂娜女王的邀请，来到斯德哥尔摩，但天气损害了他的健康。笛卡尔在那里呆了一年，然后于1650年去世。
笛卡尔问题
和培根一样，笛卡尔坚决反对旧权威，强调哲学的实践特征。“哲学是人类所能知道的知识中最完美的知识，不仅用于指导生活，还用于健康和发现各种艺术。”但与培根不同，笛卡尔把数学作为他的哲学方法的模型。他不仅提供了人类知识的轮廓，而且试图构建一个具有数学确定性的思想体系。在对自然的外在看法上，他同意新时代伟大的自然科学家的观点:自然界的一切——甚至是心理过程和情感——都必须用机械的方法来解释，而不诉诸于形式或本质。同时，他接受了长期确立的唯心主义或唯心论哲学的基本原则，并试图使它们适应新科学的要求:他的问题是调和机械论与上帝、灵魂和自由的概念。
科学的分类
在笛卡尔看来，真正的哲学的第一部分是形而上学，它包含了知识的原理，如上帝的主要属性的定义，灵魂的非物质化以及我们所拥有的一切清晰简单的观念。第二部分是物理。在发现了物质事物的真正原理之后，我们通常会在物理学上研究整个宇宙是如何构成的，然后研究地球的性质以及在地球上发现的一切事物，比如空气、水、火、磁铁等物质，然后研究植物、动物尤其是人的性质，以便发现对我们有用的其他科学。
“所以哲学作为一个整体就像一棵树。这棵大树的根是玄学，树干是物理学，树干上长出的树枝都是其他科学，可以概括为三个主要部分:医学、力学和伦理学——我指的是更高、最完善的道德科学，它预设了其他科学的完整知识，是最高的智慧。”
笛卡尔的《哲学原理》第一部分包含形而上学，其他三部分处理“物理学中最一般的东西”。
知识的方法和标准
笛卡尔的目标是找到一些确定的、不证自明的真理，比如那些有常识和推理能力的人都会接受的真理。经院哲学不能给我们这样的知识。对同一主题有许多不同的观点，因此在经院哲学中寻求确定性是徒劳的。其他科学实际上采用的是经院哲学的原理，不可能在如此不稳定的基础上建立起坚实的东西。我们得到的是大量的错误观点，被错误和怀疑所包围，却没有清晰明确的知识。哲学中没有一个主题是无可争议的。因此，如果我们想在科学中拥有某些东西，我们必须摆脱这些观点，并从其基础上重建知识的建筑。
我们不能接受传统的观点，但我们必须研究自然这本大书。“即使读完了柏拉图和亚里士多德的全部论证，如果我们不能对任何命题形成合理的判断，我们也永远不可能成为哲学家。”知道别人的观点不是科学，是历史。人要独立思考。但是，当我们试图获得明确的知识时，我们应该如何行动呢？应该遵循什么方法？这个数学例子向我们展示了我们在推理中应该遵循的步骤。只有数学家才能找到确定的、不证自明的命题。毫无疑问，我们接受二加二等于四的说法，三角形的三个角之和等于两个直角之和。如果我们可能在哲学中找到类似的真理，无数的争论和争议就会停止:我们将能够证明上帝的存在、灵魂的不朽和外部世界的真实，也将为成功的科学建立安全的基础。
我们如何进行数学研究，遵循什么方法？我们从不证自明的公理或原理开始，所有知道并理解这些公理或原理的人都会接受它们。我们用这些公理作为我们推导其他命题的出发点，这些命题在逻辑上是从这些原理推导出来的。如果推理没有错误，这些命题与前者具有相同的确定性。也就是说，我们从一个简单的不证自明的命题开始，然后得到一个更复杂的命题。我们的方法是综合的和演绎的。
这种方法也必须扩展到哲学。我们应该从绝对确定性的基本原理和清晰自明的命题出发，获得同样确定的和新的未知真理。在传统的经院哲学中寻求这样的真理是徒劳的。因为在经院哲学中，我们得到的除了一堆分歧的意见，什么都没有。而我们不能接受任何只依赖于其他权威的真理。相反，我们必须自己寻求真相。我们不清楚明白的事，永远不要当成真的。我们应该警惕被童年时父母和老师灌输给我们的偏见和观念所影响。经验表明，这些观点很多都是错误的，也许全部都是。我们也不能相信自己的感觉，因为感觉往往会欺骗我们。怎么才能知道它们和实物一致呢？但是有没有可能我们不确定自己的身体和行为是否真实？是的，就连我们自己也不一定能确定这一点，因为我们经常被欺骗，经常做梦。在梦里，我们相信眼前有真实的东西，但那只是幻觉。也许此刻我们正在做梦，无法明确区分醒着和睡着。据我所知，可能是恶魔为了欺骗我，把我弄成这样。我给自己描述的世界可能只存在于我的想象中。在我的意识之外，魔鬼的世界可能并不存在。连数学证明都可以被怀疑，因为我们有时会看到人们在这类问题上犯错误，把我们认为是假的东西当成绝对确定性。
我不能完全确定任何想法。“由此，我假设我看到的一切都是假的，我相信我的欺骗性记忆呈现给我的一切都是不真实的。我以为我没什么感觉。物体、形状、延伸和位置只是我头脑的想象。那么还有什么可以被认为是真实的呢？也许这个世界上没有什么是确定的。”
但有一点是肯定的，那就是我怀疑或者认为。这是毫无疑问的。事实上，在思考时假设思考者不存在是矛盾的。笛卡尔并没有诉诸于经验心理学事实，即心灵本身的意识，而是从逻辑上推导出怀疑包含怀疑者，思维包含思考者，即一个思考的事物或精神实体。就这样，他得到了一个在他看来合情合理、不证自明的命题。它意味着怀疑思维，思维意味着存在，我思故我在——我思故我在。'对于以有序的方式进行哲学推理的人来说，这是第一个也是最确定的知识.'这就是我们在寻找的原则——我们形而上学的一个明确的、不言自明的起点。这个命题也为我们提供了真理的标准和检验。这个命题是绝对确定的，真实的，人们清楚地理解的。由此可以确立一个普遍原理:凡是和这个原理相似的，被人们清楚理解的，都是真实的。
笛卡尔主张我思故我在这是一种，笛卡尔我思故我在及其思想意义
罗素在《西方哲学史导论》中说:人们的生活环境对他们的哲学起着很大的决定作用，而反过来他们的哲学又对他们所处的环境起着很大的决定作用。
我觉得这句话值得每一个学哲学的人注意。罗素在这里向我们传达了一个重要的观点:哲学家的思想不是凭空产生的，哲学家也不是心血来潮创造一套哲学理论。哲学的产生与哲学家的生存时间密切相关。
因此，要想彻底理解笛卡尔的哲学思想，就必须了解他的生平和背景。
一、笛卡尔的生活背景笛卡尔于1596年出生于法国的一个贵族家庭，彼时的欧洲正处于社会历史的剧烈变革当中。随着资本主义工商业的兴起和自然科学的飞速发展，教会的权威开始没落。再加上文艺复兴运动，当时的知识分子通过收集整理古代的文献，在一定程度上恢复了古希腊人文主义的传统。人们开始崇尚理性和知识，反对教会权威，批判经院哲学。
可见这是一个新旧交替的时代。一方面，反传统、反权威大行其道；另一方面，人们的生活仍然受到教会的压制和影响。笛卡尔哲学就是在这样的背景下产生的，也在一定程度上反映了时代的面貌。罗素在《西方哲学史》中这样评价他的哲学:笛卡尔有两个摇摆不定的方面:一个是他从当时的科学中学到的东西，另一个是洛夫莱斯学校教给他的经院哲学。笛卡尔从小体弱多病，但家里很有钱，所以他得到了学校的特批，早上可以躺在床上学习。因此，他养成了安静、深思的习惯。
他的学校是由国王和耶稣会士开办的欧洲最著名的贵族学校之一——Loughreis学院。在这里，他贪婪地研究古典文学、历史、神学、哲学、数学、医学、逻辑学、物理学等等。其中，他对数学最感兴趣，因为数学最有确定性和准确性。
他原本以为“读书可以获得清晰可靠的知识，明白一切对人生有益的道理”，但当他学完所有课程，获得学者资格后，“发现自己被怀疑和谬误所包围，觉得努力学习并没有得到任何其他好处，反而发现自己越来越无知”。
于是从学校毕业后，他决定抛开书本，周游欧洲，与不同地方的人交往，研究“世界上最伟大的书”。他专门研究各国的风土人情，随时随地从自己的经历中学习思考，曾经在荷兰自费参军。
由于父亲去世后留给他一笔可观的遗产和房产，他将房产卖掉并进行投资，因此他可以专心追求自己的利益，而不必担心经济来源。1629年，笛卡尔移居荷兰，在那里隐居了20年。按照罗素的说法，17世纪的荷兰是欧洲“唯一拥有思想自由的国家”，所以笛卡尔可以在这里致力于哲学和科学研究。
1649年，笛卡尔受到克里斯蒂娜女王的邀请，去斯德哥尔摩给她做了一次演讲。那是一个非常寒冷的地方。笛卡尔从小身体虚弱，不习惯早起，而女王只有早上5点才有时间，所以笛卡尔很快生病，第二年2月去世。
在后来的传说中，笛卡尔与克里斯蒂娜女王的经历被许多八卦爱好者添油加醋、绘声绘色地编造成一段美好的爱情。
第二，一般怀疑的方法论苏格拉底曾经说过，我只知道一件事，就是我什么都不知道。笛卡尔在博览群书之后，也跟苏格拉底有了一样的感受，发现前人的理论充满了谬误，令人怀疑和困惑。在众多科目中，唯有数学的基础是牢固的，但是非常遗憾，人们并没有在上边建立起知识的大厦。
于是笛卡尔决定自己着手这个庞大的项目。他希望用“数学精神”进行哲学思考。他想追求知识的确定性，就像“2+2=4”一样，在哲学上建立一种各学科统一的科学观。他把哲学比作一棵大树，其中形而上学是根，物理学是树干，树枝是医学、力学、伦理学等各种应用学科。
笛卡尔认为，在建立自己的哲学体系之前，首先要消除前人学说的影响。就像盖房子一样，只有地基牢固了，才能在上面建起可靠的建筑；为了确保基础牢固，我们需要挖出沙子和浮土，找出岩石和硬土。
孔子有句名言:工欲善其事，必先利其器。笛卡尔也明白这个道理。为了建立自己的哲学体系，笛卡尔提出了四个方法论原则。
第一条规则是:永远不要认为某件事是真的，除非你清楚地意识到它是真的。第二种是:把我考察的每一个难题，按照可能性和必要性的程度，分成几个部分，以便逐一妥善解决。第三种是:我按顺序思考，从最简单最容易的对象开始，逐渐上升到对复杂对象的理解。第四条规则是:对所有情况进行全面调查，确保不遗漏任何情况。笛卡尔的方法被后人称为“普遍怀疑”。他想用这种方法为知识的构建找到一个可靠的起点，就像阿基米德的名言:“给我一个支点，我可以撬起地球”。也就是说，对于笛卡尔来说，怀疑本身并不是目的，而只是一种手段。他想用普遍的怀疑去寻找不可怀疑的东西。
第三，我想是的，我在这里。笛卡尔的这句名言可谓是“全世界都知道”，但是很少有人真正理解这句话的意思，很多人都理解错了。那么，“我思故我在”这句话究竟是什么意思呢？
这需要借助上面提到的“普遍怀疑”的方法论来理解。一般来说，不可怀疑的确定性在笛卡尔看来是值得怀疑的。他不仅怀疑前人的理论，也怀疑我们的感官。比如我现在可以怀疑自己穿着厚厚的羽绒服在电脑前打字吗？这个你可以怀疑，因为实际情况可能是我现在穿着睡衣睡觉，眼前的场景只是一个梦。看过电影《盗梦空间》的人都知道，有时候现实和梦境难以区分。没有那个旋转的陀螺，你怎么确定你的人生不是一场梦？
说起这个，很多人会想到“庄”这个典故。梦见自己变成蝴蝶的是庄子吗？还是蝴蝶梦见自己变成了庄子？你区分两者的依据是什么？
所以我们亲眼看到的不一定是真的，我们的感官可能会误导我们。你怎么知道你现在不是在做梦？即使是我们认为毋庸置疑的数学知识，比如前面提到的“2+2=4”，也是可以怀疑的。“因为不能排除，他们天生就是错的。只是上帝创造我们的时候，故意让我们每次都犯同样的错误，觉得自己是对的；或者这些只是一个狡猾的怪物精心设计的骗局。”
既然一切都可以怀疑，那还有什么不能怀疑的呢？如果有，什么是毋庸置疑的？笛卡尔说:
当我想把一切都想象成虚假的时候，这个思维“我”一定是某个东西；我认识到“我思故我在”的真理是非常坚定和真实的，怀疑论者所有最狂妄的假设都无法推翻它，所以我断定我可以毫不犹豫地承认它是我所寻求的哲学中的第一原则。也就是说，思想可以怀疑思想的对象，但不能怀疑自己。我们可以怀疑一切众生，但有一件事是不能怀疑的，那就是“我在怀疑”本身。
必须注意的是，笛卡尔这里所说的“我”不是一个肉体，而是一个思想主体。“严格来说，我只是一个思维的东西，也就是说，我只是一个头脑，一个理由或者一个理由。”
还有一点需要强调的是，笛卡尔“我思故我在”的哲学观点并不是逻辑推理，而是基于某种理性直觉。换句话说，“我想”和“我在”之间没有因果关系。
第四，上帝的存在与心物二元论。“我思故我在”是笛卡尔哲学的第一原理，是他重建知识大厦的起点，其意义在于确立了自我是一个思想实体。然后他就从这个确定的命题出发，去推导其他的确定知识。
接下来，他要论证上帝的存在。也许是因为从小信仰天主教，他认为每个人心里都有一个清晰明确的上帝概念。上帝的概念是一个“无限完美”的存在。那么这种对上帝的想法是外部原因产生的，还是自己的想法产生的呢？笛卡尔认为，这种想法显然不可能来自于我们自己，因为我们都是不完美的、有限的，不可能从一个有限的“自我”中产生一个无限的“上帝”。那么这个想法一定是来自完美的存在本身，也就是上帝。所以笛卡尔相信上帝是存在的。
在确立了自我和上帝的存在之后，笛卡尔去考察了物质的本质。他认为，心灵是一个实体，其本质属性是思维，思维不占空间，不可分解。但每个人不仅有心灵，也有身体，而身体是物质，所以笛卡尔认为物质是另一种实体，其本质属性是广泛性，即有体积，占有空间，可以分解成更小的单元。
这样，我们可以说，人是两个实体的结合体，身体是物质，意识是心灵。因此，笛卡尔是一个心物二元论者。
什么是实体？笛卡尔给出了定义:“不依赖于其他任何东西而自身存在的东西。”严格来说，只有上帝才能符合这个定义，所以他认为上帝是最高实体，心灵和物质都来自上帝，上帝是次级实体。
笛卡尔是形而上学的二元论者，自然科学的机械唯物主义者。既然身体是物质，那就必须遵循物理定律。例如，他认为动物是机器，血液的循环是一种机械运动。只是因为人有灵魂，所以没见过机器。对于笛卡尔来说，灵魂实际上指的是理性。
因为笛卡尔把物质和心灵视为两个独立的、完全不同的实体，所以顺理成章地认为身心不能相互作用，这显然与人的身心是和谐的这一事实相矛盾。这在理论上会面临很大的困难。
为了解决这个问题，笛卡尔假设人的身心之间存在一个连接处，这个连接处就是大脑中的松果体。人类的身体和精神通过松果体的连接相互作用。
但这种解释也有一个难点，就是给心灵的实体一个定位，违背了心灵不广延的原则。因此，关于身心互动或心物关系的问题，在笛卡尔那里并没有得到有效的解决。
五、笛卡尔的人生哲学有趣的是，笛卡尔在思想上可谓离经叛道，很有一股开拓进取的精神，但是在日常行为方面却是谨小慎微，“奉行明哲保身、与世无争的人生哲学”。后来罗素写《西方哲学史》的时候，说“笛卡尔是懦弱胆小的人”。
其实笛卡尔这么做也是可以理解的。当时罗马教会的影响力非常巨大。1600年，布鲁诺因鼓吹“日心说”被活活烧死在十字架上的火刑柱上。1633年，伽利略被罗马教廷逮捕并接受审判。鉴于这种情况，笛卡尔写完《宇宙论》后不敢发表，直到去世多年后，后人才整理出一些相关手稿出版。为了不给自己惹麻烦，保护自己免受迫害，让自己可以安安静静无忧无虑地做研究，笛卡尔也给自己列了几条规矩。其中两个是:
“遵守我们国家的法律和习俗，坚守我从小在上帝保佑下接受的宗教，在其他一切事情上以我身边最有智慧的人为榜样，服从他们在实践中一直接受的最符合中道、最不偏激的意见，从而约束自己。”“永远努力战胜自己，不是你的命运，而是你的愿望，而不是世界的秩序。”不及物动词笛卡尔哲学的影响及其评价笛卡尔建立了近代哲学史上第一个哲学体系，明确提出了知识起源、知识结构、知识的真理性、确定性和普遍性等现代认识论问题，就连一向刻薄挑剔的罗素也承认他是“近代哲学之父”。
第一个哲学原理“我思故我在”在西方哲学史上影响很大。黑格尔曾经说过，“从笛卡尔开始，哲学变成了一个完全不同的范围，一个完全不同的观点，也就是变成了主体性的领域，变成了某些事物”。他的哲学理论既有“理性主义”的倾向，又包含“经验主义”的成分。因此，他的哲学对后来欧洲大陆的理性主义和英国的经验主义产生了重大影响。
笛卡尔不仅是著名的哲学家，也是杰出的数学家和科学家。在数学上，他是解析几何的创始人。在自然科学中，他是近代机械论的主要代表之一，对后来的法国唯物主义有重要影响。后来比如18世纪，法国的拉丁美洲写了一本叫《人是机器》的书，进一步推进了笛卡尔的观点。
参考资料:
笛卡尔:《谈方法》，王台庆译，商务印书馆，2000年。
罗素:《西方哲学史》，马元德译，商务印书馆，1976年。
《邓晓芒与赵霖:西方哲学史》，高等教育出版社，2014年。
张志伟:《西方哲学十五讲》，北京大学出版社，2004年。
约斯坦·加尔德:《苏菲的世界》，小译，作家出版社，2017年。
笛卡尔定理在代数的应用，关系代数广义笛卡尔积
回顾上文我们简单的介绍了一些范畴论相关的内容，范畴由一些对象和箭头组成，范畴之间的箭头称为函子，函子之间的一族箭头称为自然变换。
范畴的对象不一定是集合，所有的箭头也不一定构成集合。如果一个范畴的所有对象都是集合，所有箭头都构成一个集合，则称这个范畴为小范畴。1.域和值域在集合论中，函数自变量所有可取值的集合，称为函数的定义域，给定函数，其中就是的定义域，记为，集合，称为的值域，记为。
在范畴论中，箭头还有定义域和值定义域的概念。箭头表示对象和之间的关系，我们称之为箭头的定义域，用表示，是箭头的值域，用表示。因此，我们也可以定义范畴中从一个对象到另一个对象的所有箭头的集合，通常称为hom-set。
2.笛卡尔闭范畴笛卡尔闭范畴是一种带有附加结构的范畴，这个名字虽然不是那么熟悉，而实际上，我们经常遇到它。
2.1笛卡尔积两个集合之和的笛卡尔积是由下列所有可能的有序对组成的集合。
2.2笛卡尔积上的函数
，是由笛卡尔乘积导出的函数。我们可以从两个不同的角度来看待它，
(1)它是一元函数，参数取中的所有元素。(2)它是一个二元函数，一个参数来自，另一个来自。
原则上，这两种理解应该是不同的，但是是等价的。
2.3科里化
笛卡尔闭范畴就是反映这种性质的数学结构。在一个类别中，定义在产品对象上的箭头总是可以由定义在某个对象或对象上的箭头“自然地”确定。
这就是curring的概念。Curring一个二元函数意味着它被视为一元函数，它返回另一个一元函数。
如果是函数，设是所有的函数，那么有唯一的函数，所以，。该功能称为cori化。
在hom-set术语中，存在一对一的映射，因此，
2.4笛卡尔闭合
通过将上述柯里化概念推广到范畴论，我们得到了一个笛卡尔闭范畴，它满足以下附加条件。
(1)有一个对象在，所以任何对象都有一个唯一的箭头。这样的对象称为终端对象。
(2)对于任意两个物体之和，范畴中有一个物体，两个箭头之和使、、、。
(3)对于任意两个物体和，范畴中有一个物体和一个箭头，这样对于任意一个箭头，都有一个唯一的箭头，并且有一个常数。
那就是。其中，对象的恒等式箭头称为指数对象。
3.项目说明在第六篇中，为了解释简单类型化演算，我们为每一个项，找到了一个代数中数学对象与之对应，简要的说，我们用代数的载体来解释基本类型，用载体上的函数集来解释类型为的所有函数。
现在我们有了笛卡尔闭范畴，我们准备为每一个基本类型在范畴中选择一个对象，把常数这个术语解释为范畴中的一个箭头(原因解释如下)，这里是我们在Henkin模型中定义的意义函数。3.1关闭项目的说明
我们这样定义一个意义函数，(1)(2)(3)(4)
3.2具有自由变量的项目
如果是带自由变量的术语，应该解释为从自由变量的语义对象到封闭范畴中笛卡尔的语义对象的箭头。
值得一提的是，在这里，它解释了为什么常数不能被解释为范畴中的对象，而是箭头。
其中，类型上下文的解释定义如下，(1)(2)
回顾本文介绍了笛卡尔闭范畴，是一种具有特殊结构的范畴，它补充了柯里化这一概念所需满足的约束条件。
然后我们用单位型解释了简单型微积分，用笛卡儿闭范畴解释了乘积型。涉及你好，类型（六）：Simply typed lambda calculus 语言背后的代数学（六）：Henkin模型 Small and Large Categories Class Category Theory for Computing Science Cartesian closed category
接下来:语言背后的代数(X):库里-霍华德-兰贝克连贯笛卡尔对西方哲学的贡献，笛卡尔是西方近代哲学的开创者
只要一个行动非常缓慢的人继续沿着正确的道路前进，
你可以走在那些偏离正道的人前面很多。
笛卡尔
在欧洲历史上，17世纪被视为“路易十四的世纪”(伏尔泰)，也可以说法国崛起为大国。在科学史上，怀特海把17世纪称为“天才的世纪”。本世纪法国贡献了三位科学天才，笛卡尔、费马、帕斯卡。众所周知，费马的兴趣主要在纯数学方面，尤其是长期悬而未决，上世纪末终于被攻克的“费马大定理”闻名于世。笛卡尔和帕斯卡在世时因为多才多艺而出名，曾在巴黎生活过。
有趣的是，上述三位天才都出生在外省，其中笛卡尔出生在中西部的安德-卢瓦尔省，费马出生在南部的塔恩-加龙省，帕斯卡尔出生在中部的多姆山省。这三个省都没有名城。距离巴黎300到1000公里，他们的出生地是乡村、城镇和省会(法国有96个省)。
梅森神父组织的每周一次的数学沙龙是法国科学院的雏形。梅森神父是17世纪法国数学界不可或缺的人物。通过组织沙龙和秘密旅行，他与三位个性鲜明的顶尖同行——笛卡尔、帕斯卡和费马——保持着密切而良好的关系。此外，他本人在数学史上以梅森素数而闻名。
笛卡尔不仅考虑了数学的严谨性(可以推广到科学)，也没有忽视感性知觉。这样就消除了长期存在的权威，人在自我探索中得到解放。这是一种非经验的方法，与亚里士多德三段论的形式化相比，提供了一种全新的时代精神。
正如笛卡尔所指出的，三段论的规则“只有在沟通我们已经知道的东西时才有用，并不能帮助我们发现我们不知道的东西”。由于经院哲学的权威性，笛卡尔的方法论通过非正规渠道慢慢传到了西欧。在英国，它激励了还在剑桥大学学习的牛顿。后来牛顿从自己农场的一个掉落的苹果中获得灵感，认识并得到了万有引力定律，这是从内心接受笛卡尔新思想的结果。
在因伽利略被宗教法庭定罪而被故意推迟的《方法论附录》中，笛卡尔给出了一些几何发现，如圆锥曲线的分类、曲线的切线法、高次方程的求解等。，都已经过时了。如果作者总结笛卡尔对数学的主要贡献，可能是以下四点:其一，算术的符号化，比如我们现在普遍使用的已知数a，b，c……和未知数x，y，z……以及指数表达式就是由笛卡尔率先使用的。其二，从某个原点出发，延伸出x轴和y轴，建立了历史上第一个倾斜坐标系，并给出直角坐标系的例子，解析几何由此得以诞生。其三，凸多面体的顶点数v、边数e和面数f之间的关系：v – e + f = 2，后人称之为欧拉-笛卡尔公式。最后，笛卡尔叶形线，如今在微积分学教程里经常可见。不难发现，笛卡尔对数学的热情主要来源于方法论的需要。在他看来，知识需要确定性，而数学正好提供了这一点。
因此，在短暂的激情之后，笛卡尔将兴趣转向了更广泛的问题，即寻找所有科学的解决方案。其实笛卡尔曾经对数学寄予厚望，就像毕达哥拉斯对自然数情有独钟一样(他的名言是万物皆有数)。他认为任何问题都可以归结为数学问题，而数学问题又可以通过代数问题归结为方程问题。
帕斯卡的数学更多的来自经验和实践，而不是笛卡尔对直觉和演绎的执着。17岁那年，他发表了《论圆锥曲线》，不久此文失传，直到一个多世纪以后才重又发现，文中证明了射影几何学中几个深奥的结果，包括今天被称为帕斯卡尔定理的一个结论：圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线。尽管这项工作当年曾经遭到笛卡尔的嘲讽，如今它仍然是整个几何学中最丰满的一个结果。
两年后，为了帮助他作为鲁昂总督归山的父亲计算税收，帕斯卡尔开始研制计算机，这是人类研制成功的第一台计算机。
虽然笨重异常，但可以进行八位数的四则运算。此后十年，帕斯卡尔继续改良并使之完善，陆续造出了50来台计算机，可惜在广告营销方面不甚得力，留存下来的八台机器中有一台为IBM公司所拥有。为了纪念帕斯卡尔，上个世纪70年代初诞生于美国的一种计算机语言就用他的名字命名。帕斯卡对计算机的热情告一段落后不久，一位赌博骑士就赌博的输赢几率向他求教，这使他做了深入的研究，并与地处偏远南部山区的费马频繁通信。
数学史家一般认为，正是这两个法国人的通信，奠定了概率论这一数学分支的基础。随后，打赌的论证也进入到他最重要的散文著作《思想录》，成为其中最长最有名的片段之一，他的出发点是，上帝要么存在要么不存在，这是一个与打赌一样非此即彼的问题。作为概率论研究的副产品，帕斯卡尔还获得了二项式展开系数之间的相互关系，这个系数按升幂排列的形状在西方叫帕斯卡尔三角，它是组合数学的基本结论。其实，这个三角图在北宋数学家杨辉的著作里就已出现了，而杨辉称他的结果出自已经失传的贾宪的著作（早杨辉两个多世纪）。因此它在中国的教科书里被命名为“贾宪三角”或“杨辉三角”，至于它是否是贾宪本人亲自发现并论证，就不得而知了。帕斯卡和笛卡尔都在除数学以外的其他科学领域做出了杰出的贡献。
帕斯卡尔定律是流体力学中的一条重要定律，说的是封闭容器中流体的某一部分压强如发生变化，将毫无损失地传递至其它部分和容器壁；同时，压强等于作用力除以作用面积。而帕斯卡尔也成了国际通用的压强单位，简称“帕”。在天气预报中，我们经常会听到台风或龙卷风中心的气压有多少千帕的说法（气压越低风力越强）。笛卡尔的兴趣更为广泛（这方面被后来的歌德效仿），他在光学、气象学和生理学等方面都有涉足。例如，在气象学上，他试图用自己建立起来的光的折射理论解释彩虹现象，并通过元素微粒的旋转速度来分析颜色。在生理学方面，他的野心就更大了，消化、呼吸、血液循环和神经系统都是他考虑的范围，他还研究喷嚏、咳嗽和哈欠的原理，知觉的机理以及眼球的晶状体，甚至购买尸体用来解剖。可是，有关心脏功能的描述受到哈维的责难，正如罗素所言，笛卡尔在这些学科上的工作远不如在数学和哲学方面出色。奇怪的怀疑主义在笛卡尔的所有著作中，我们都能找到一种寻求知识统一的努力。他认为所有的科学都是相互联系又相互独立的。
例如，《论世界》一书就包含了热、光、潮汐、地球的形成、彗星的特性等自然法则，他试图将所有知识都归纳到建立在少数简单原理之上的某个体系或科学之中，其目的是要使得自然界更为清晰。他在笔记中写到，“如果能明白科学是如何联系在一起的话，我们就不难发现，掌握它们并不比记住一串数字更难。”相比之下，帕斯卡没有这个野心，
这或许是从小处在父亲的呵护下的缘故，他与两个姐妹的关系也十分亲密，她们分别在物质和精神方面给予他无微不至的关怀。加上健康状况不如笛卡尔，年纪轻轻医生便建议他不要过多地从事脑力劳动，消遣和娱乐成了两贴良药，于是乎跳舞、打球、狩猎、赌博就成了治疗手段，他这才有机会认识赌友并研究几率。可以说，帕斯卡尔的天才使得他攻无不克，同时也妨碍他思考数学和自然科学的统一问题。随着年龄的增长，笛卡尔和帕斯卡将他们对物质世界的兴趣转向了精神世界。
笛卡尔写出了《方法论》、《论世界》、《沉思录》和《哲学原理》；帕斯卡尔则留下了《致外省人书》和《思想录》。不同的是，由于伽利略的受审和被判定罪，使笛卡尔更多地沉湎于形而上学的抽象，这对哲学有利而对科学不利；而帕斯卡尔由于笃信宗教和爱情的缺失，字里行间蕴涵了更多的虔诚和情愫。笛卡尔是把哲学思想从传统经院哲学的桎梏中解放出来的第一人，黑格尔等后辈尊称他为“现代哲学之父”。
作为彻底的二元论者，笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来，其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思，故我在”。尽管这一气度不凡的表达受到了罗素等人的质疑，它仍不失为哲学史上最有力的命题之一。恰恰相反，帕斯卡对人类的局限性有着充分的理解，
他很早就意识到人类的脆弱和过失，他对世界的思考意在克服内心的焦虑，寻求一种确定性，就如同笛卡尔在数学中寻找确定性那样。而对帕斯卡尔来说，无穷的小或无穷的大都让他感觉到惊诧和敬畏，他的数学发现是在有限的空间里得到的，在谈到宇宙时他写道，“这些无限空间的永恒沉默使我恐惧，”而微小的寄生虫又使之如临“新的深渊”。帕斯卡非常相信上帝。思想的原书叫做《辩护》，因为它是在他死后出版的。编辑为他改了名字(这个修改现在已经被证明是正确的，否则影响力肯定大打折扣)。
在这部堪称法国文学的精品里，帕斯卡尔是这样劝告那些怀疑论者打消疑虑的，“如果上帝不存在，则你们相信他也不会失去什么；而如果上帝存在，则你们相信他就可以获得永生。”在《思想录》里，有一段论及父亲之死的文字，“如果没有耶稣基督，死亡是可怕的，是令人憎恶的，是自然界丑陋的一面。然而，在有了耶稣基督之后，一切全然改变了，死亡是那样的仁慈、神圣，是信仰者的欢愉。”尽管如此，帕斯卡尔仍把怀疑主义看成是信仰的序曲。当然，他的怀疑主义更多是建设性的，而非破坏性的。他认为，真正的宗教必须比其竞争对手更好地诠释人类的处境。笛卡尔也有宗教信仰，不厌其烦地从多方面证明上帝的存在。
就像高斯对同余理论中二次互反律的痴迷一样。他的确自认为已经证明了，只是使用的方法并不如他在数学中那么漂亮，尽管他的文笔是用迷人的个性化手法写下的。但按照罗素的说法，基本上是属于经院哲学的套路（罗素本人则回避了信仰问题）。更有甚者，其中一个本体论的证明后来受到了康德的严厉批评。笛卡尔认为，人的心灵基本上是健全的，是获得真理的惟一手段。因此，他对待上帝的态度是可疑的，甚至有可能像蒙田一样，仅仅出于习俗的原因才有信仰。而在思维或方法论上，笛卡尔则是一个彻底的怀疑主义者，对他来说，怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。他认为，我们从童年时代起就有了许多偏见，如果得不到纠正，会持续到成年，进一步他指出，“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”尽管笛卡尔和帕斯卡年龄相差27岁，而且他们在巴黎相处的时间非常有限，但从某种意义上说，他们仍然是理性和智力上的对手。
1647年的一个秋日，大名鼎鼎的笛卡尔探望了年轻的帕斯卡尔，对后者发明制造的计算机表示赞赏。一般认为，这是他俩惟一的一次会晤，笛卡尔还给正在遭受疾病折磨的帕斯卡尔一些医学上的教导和嘱托。可是，对帕斯卡尔关于真空存在问题的实验和研究，笛卡尔却不以为然，他认为真空是不存在的，强调在真理的发现中起决定性作用的并非实验。事实表明，笛卡尔的否定是错误的，真空在一定的条件下是存在的。与此同时，帕斯卡尔也批驳了笛卡尔的某些哲学观念，例如对科学过于倚重，强调理智不能认识人生。帕斯卡尔认为：“心灵有其自己的思维方式，那是理智所不能把握的。”这一点并不奇怪，就像笛卡尔在旅途中所发现的，“各地习俗之不同，犹如哲学家见解之各异。”无论如何，笛卡尔和帕斯卡之间的争论是在理性和学术的范围内。事实上，他们俩都不喜欢抛头露面。
笛卡尔成年以后，大部分时光居住在荷兰，在这个多处地方低于海平面的国家，他不愿意把自己的住处告诉别人，包括一些亲近的朋友，为此还多次更换寓所。他的座右铭是：“隐居得越深，生活得越好。”而帕斯卡尔既没有进过学校，也没有谋求公职，他去得最多的或许是梅森神父的沙龙，他一度频繁光顾社交场所也是由于医生的建议。值得一提的是，在17世纪的法国，像梅森神父这样讨论科学和哲学的沙龙在上流社会非常流行，就像今天中国的文化媒体(跟随美国的脚步)往往专注于娱乐和商业明星，那个时代的理性生活是巴黎人关注的中心。
也正因为经历了无限风光和令人羡慕的生活之后，笛卡尔和帕斯卡尔才想过另一种避世的生活。另一方面，比他们稍早的法国同胞、人文主义作家蒙田也曾在37岁的时候卖掉自己的官职，退出社交生活，回归自己的庄园。1655年新年刚过，31岁的帕斯卡尔继妹妹之后，进了巴黎郊外的波尔罗尼亚修道院。此后，他只是在别人请求时才写作，再也不用自己的名字发表（包括数学论文），他的两部散文名作都是在这个修道院隐居期间写成的。而在一个牙痛难忍的夜晚，他还研究了摆线的运动规律，并得出了一系列结果。所谓摆线是指通过在一条平坦的大道上沿直线滚动的车轮圆周上一点的运动轨迹，它有着“几何学中的海伦”的美誉。从某种意义上说，笛卡尔和帕斯卡生活在两个极端。一个从小特立独行，一个从小被家人惯坏；一个走遍了全世界，另一个似乎从未离开过法国。
对于帕斯卡尔是否体验过爱情的滋味，持肯定态度的人只能从他的散文作品里寻找线索，而笛卡尔生活中的两个女人和一个夭折的女儿是公开的秘密。不过，大凡天才的思想家都只需要一小会儿炽热的恋情，最好是可望不可及的那种。在这两个法国人的生命中，必须要提及的两件事是，笛卡尔的幻觉和帕斯卡尔的皈依。1923年冬天的一个夜晚，随军驻扎在德国乌尔姆（爱因斯坦的出生地）的笛卡尔产生了一系列的幻觉或梦想，归纳起来，可以理解为揭示人生使命的一种启示，即他的著作应该根据几何学原理将所有的知识统一起来。在这之后，笛卡尔才决心变卖掉他父亲留下的家产，以便集中精力做自己想做的事。帕斯卡尔的两次皈依则相隔了八年时光，第一次使他说服全家加入了宿命论的冉森主义，第二次使他背弃早先的意愿进了波尔罗尼亚修道院。这两次皈依起因于偶然事件，其结果虽然没有让他完全放弃科学研究，但至少那已不再是他渴求的东西；另一方面，法国文学却因此添加了两部杰作。据说帕斯卡尔自小擅长辞令，说话幽默风趣，这可能是他的著作留传后世的一个原因。对笛卡尔而言也是如此，他成为近代哲学的开山鼻祖，不能不说是与那几个梦有关。笛卡尔人到中年的时候，五岁的女儿死于热病，他的幸福时光戛然而止。此后，他爱上一个比他年轻二十多岁的贵族小姐(这个不好考证），从此陷入一种无法摆脱的甜蜜和精神折磨，直到另一个至高无上的女人出现，那便是瑞典女王克利斯蒂娜。女王派出一艘军舰把笛卡尔邀至斯德哥尔摩，于是在那个格外寒冷的冬天，从小爱睡懒觉的法国人不得不每周三次在凌晨时分来到王宫，为她讲授哲学。几个月以后，笛卡尔因为肺炎复发死在异乡。“人只不过是一根芦草，是自然界最脆弱的东西。”帕斯卡尔在波尔罗尼亚修道院里这样写道，“但他是一根会思想的芦草”。帕斯卡尔的苦行僧生活极其严格，当他发现自己说话太多，便把一条布有铁钉的带子绑在身上以示惩罚。但帕斯卡尔有一颗博爱的心，在他短促的生命最后一年，亲手为巴黎市民设计了第一辆公共马车，并建议成立了一个公司来运作这种新的交通工具，这大概是今天所有公交汽车公司的前身。好了，言归正传，
重组笛卡尔的生活。。。
自然运行有规律，人类生存有规则，而人类世界里，至少存在三类人：规则的制定者，规则的执行者和规则的挑战者，第三类人，或许就叫哲学家。哲学始于怀疑，怀疑成为笛卡尔。勒内·笛卡尔不是怀疑世界的第一人，而是将怀疑形成确定理论的哲学家、数学家和物理学家，是近代哲学中不可回避的高峰。勒内·笛卡尔1662年出版的《论人》一书中的插图
罗素在《西方哲学史导论》中说:人们生活的环境对他们的哲学起着很大的决定作用，反过来他们的哲学又对他们所处的环境起着很大的决定作用。(哲学家的思想不是凭空产生的，也不是一个哲学家心血来潮创造一套哲学理论。哲学的产生与哲学家的生存时代密切相关。因此，为了彻底理解笛卡尔的哲学，有必要了解他的生活和背景。
他是现代西方哲学的创始人。他的哲学思想深深影响了后世的欧洲人，开辟了所谓的“欧洲理性主义”哲学。
笛卡尔认为，人类应该能够使用数学方法——也就是理性——进行哲学思考。他认为理性比感官感觉更可靠。他举了一个例子:当我们做梦的时候，我们以为自己在一个真实的世界里，但实际上这只是一种错觉。
笛卡尔不仅将这种方法应用于哲学思考，也应用于几何，创立了解析几何。因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。欧洲数学在经过文艺复兴前期的准备后，终于在17世纪开始开花结果，越来越多的数学天才如同夜空中的焰火一样，不断地闪耀出夺目的光彩来，用一个最俗的词来形容就是"群星闪耀"，而在这群星中，我们的"宅家男神"笛卡尔先生无疑是最先闪亮的一个。
1596年出生于法国昂代卢瓦尔省的勒内·笛卡尔，名字“勒内”在法语中是“重生”的意思。这种“重生”让笛卡尔活出了大多数人所没有的高品质。笛卡尔从未忘记护士救命的恩情。去世前，他想起了她，“给她足够的钱，让她过上幸福的生活”。笛卡尔这个姓氏可以看作是由des和cartes组成。cartes的意思是“卡片、扑克牌、地图”，Des则是之前修改过的冠词。字面翻译，笛卡尔的意思是“一些扑克牌”。
笛卡尔于1596年出生于法国的一个贵族家庭，当时欧洲正经历着剧烈的社会历史变革。随着资本主义工商业的兴起和自然科学的迅速发展，教会的权威开始下降。再加上文艺复兴运动，当时的知识分子通过收集整理古代的文献，在一定程度上恢复了古希腊人文主义的传统。人们开始崇尚理性和知识，反对教会权威，批判经院哲学。可以看出这是一个新旧交替的时代，一方面流行反传统反权威，另一方面人们的生活还受着教会的压制和影响。笛卡尔的哲学就是在这样的背景之下产生的，也在一定程度上反应出时代的面貌。罗素在《西方哲学史》中这样评价他的哲学：笛卡尔身上有着一种动摇不决的两面性：一面是他从当时的科学学来的东西，另一面是学校传授给他的经院哲学。
“笛卡尔4岁时，文明史步入新世纪。”讽刺的是，虽然这个世纪充满了天才，却宣布伟大的思想斗士布鲁诺被烧死了。当时整个欧洲充满矛盾和动荡，天主教和新教之间、皇权和宗教权力之间、国家之间争斗不断。但这种环境并没有影响到笛卡尔的童年，因为他身体虚弱，父亲对他的要求只有两个:充足的睡眠和良好的营养。笛卡尔从小就表现出勤于思考，喜欢对很多事情提出疑问，从不盲目接受别人的观点。在家里，当被小笛卡尔问到时，这个聪明又能说会道的保姆张口结舌。在学校上学时，笛卡儿也常常问出许多他的老师都没有想到过的问题。8岁的笛卡儿被父亲送进学校，由于笛卡儿体质比同龄的孩子脆弱得多，校长特许他如果觉得身体不适，可以躺在房间里休息而不必去教室上课，然而小笛卡儿对这种特殊的照顾并不借此偷懒睡觉，而是微闭着双眼，大脑里却不停地加快回忆老师教的和自己读到过的一些内容，并提出疑问，继而用自己所掌握的知识来回答。在他的枕边总是堆放着一本本哲学、数学、天文学和历史的书籍，早年的寂静的冥思中孕育着笛卡儿的数学思想。604年，笛卡尔八岁时，他的父亲把他送到拉菲切一所由耶稣会教士创办的皇家公立学校，开始接受正规教育。当时学校是欧洲最负盛名的学府，人才济济，各地贵族子弟涌入。笛卡尔在这里学习了大约8年零6个月，是学校的模范生。
头5年是学习人文学科，包括拉丁文、希腊文和古典作品，还学习法语的散文和诗歌作品、音乐、戏剧表演，以及作为一个绅士必不可少的训练:骑术和剑术。第六年至第八年的课程总称为哲学。第六年学习亚里士多德的逻辑学和道德学。第七年学习物理学、数学和天文学。这些学科讲的几乎都是亚里士多德的东西，只是在数学和天文学中，他偶而从老师那里了解到当时的一些发展状况。第八年学习形而上学，主要是托马斯·阿奎那(Thomas Aquinas)的哲学和耶稣会士的注释。上学期间，他被托付给一个远房亲戚夏莱神父照顾。这位牧师是一位杰出的学者，不久就成了这所学校的校长。笛卡尔称他为& # 34；我的第二个父亲& # 34；。
笛卡尔非常尊师重道，他对师长始终保持由衷的敬爱和真挚的友谊，耶稣会的神父也以慈父般的心肠爱护这位高材生。他的老师对他的评价是:聪明，勤奋，品行端正，性格内向，争强好胜，对数学十分喜爱并具有这种能力。虽然如此，他对学校的功课却不满意，因为当时的公学，大都采用旧士林哲学的教育方式，无可否认那种哲学已与时代脱节，对于各种应时而生的科学问题，它的解答难以令人满意，显得异常地空洞和单调。尤其是实验科学崛起之后，亚里士多德的物理学已被新的事实所否定，而亚里士多德建立的哲学系统便普遍地受到挑战与怀疑。后来他对学校的教育表示不满时说，他认为自己不是一个有知识的人，而是一个无知的人，除了怀疑和不确定的东西，什么也没学到。
语言、文学和历史容易使人陷入虚幻的夸张;诗歌和修辞没有诉说真理;数学虽然其推论是自明，能给自己一些安慰，但是它的用处有限;宗教的和道德的启示对有学问的人和对无知的人一样，似乎都是神秘的;哲学虽经几个世纪最有才智的人研究，结果仍然是"没有一个问题不争论不休。"笛卡尔不仅对自己知识上的积累不满，而且气愤地讲，他所学的教科书是博学的破烂。对于老师对笛卡尔的怀疑，他一开始采取了宽容的态度，但是后来有几个老师对他进行了猛烈的攻击，这是他一生中特别难过痛苦的一件事。
幸好在公学时，他有一位非常要好的同学，即日后的马林·梅色纳神父(MarinMersenne)，两人终身鱼雁不绝。1612年公学毕业后，他前往普瓦捷(Poities)大学攻读法律，几年的努力，终于顺利获得学士学位。1616年，他再以最高成绩荣获法律硕士学位。后到荷兰当上了一名军官。有一天，当时很出名的贝克曼在城墙上贴了一道数学题，悬赏寻找答案。
笛卡尔请人帮助把题目的荷兰文翻译成法文，当时贝克曼满不在乎地瞧了一眼这位满脸胳缌胡子的青年军官，他做梦也没有想到，两天之后笛卡儿交来了正确的答案，笛卡儿初露锋芒，奇遇使这两位数学天才成为了非常亲密的朋友，成了一起探讨数学和科学问题的好友。这次的成功使笛卡儿看到了自己的数学才能，更加激起了他的研究热情。毕业后，他的父亲想拓宽他的知识面，于是在1617年带他去了花都巴黎。但他对城市的奢华放荡生活毫无兴趣。
稍能吸引他的，唯有与数学有关的赌博。据说他演算精明，料事如神，多次使庄家倒庄!在巴黎他遇到挚友梅色纳，当时梅色纳已进入小兄弟会，准备当神父，两人重温旧情一番。书中的知识已无法满足笛卡尔的求知欲，当时他已22岁，身体逐渐好转，他便想到欧洲各地旅游，在世界这本大书里寻找实际知识。经过一番考虑，1617年他开始旅行，沿途留心观察各种事物，仔细地做下笔记，反复地思考问题。1618年，他在荷兰作为一名无薪俸的军官投入奥伦治亲王、拿骚的莫利斯(Prince Maurice de Nassau)麾下服务。因为他认为，这是实现游历世界最理想、最经济、最简单的方法。何况贵族的子弟，在军中享有许多特权，生活可以过得相当自由。那年冬天，因为天气冷，又没有打仗，我就在营地休息。双方签订和平条约后不久，笛卡尔前往Br da。在贝琳达的街上，我偶然遇到了一个叫比克曼的医生。他很开朗，他们俩有着相同的科学兴趣，很快就成了最好的朋友。
他对笛卡尔的影响相当大。因此，笛卡尔十分感激他，把第一部著作《音乐提要》(Compedium Musicae)呈现给了这位朋友: "事实上，你是惟一把我从懒散的状态中唤醒的人，唤醒了在我心中几乎已经被我完全遗忘了的科学兴趣。你把一个业已离开科学的心灵带回到最正当、最美好的路上。"在比克曼的推动下，他开始撰写自己有关数学的论文，形成后来建立解析几何的那些基本思想。翌年，笛卡尔游历丹麦和德国，并在法兰克福(Frank furt)参加德皇的加冕典礼，然后到波兰莫拉维(Moravie)，最后又回到德国，加入巴伐利亚的马克西米利安公爵(Maximilien de )率领的军队，攻打波汉姆王军。那是一个严冬。笛卡尔住在德国一个小村庄里一个非常温暖的房间里。因为他没有共同的烦恼，所以能够安心地在床上打坐，得到开悟，体会到科学的奇妙基础。那是1619年11月10日。根据他自己的描述，他当时有三个幻象或者惊人的梦。第一个梦是一个非常恐怖的梦，他觉得有许多幽灵出现在他前面，吓得他到处乱跑。醒来之后，觉得有一种痛苦，使他害怕这一切都是某些恶魔来勾引他，不让他去完成他的任务。大约有两小时没睡着，他向上帝祈祷，祈求上帝支持他，并饶恕他的罪恶和缺点。接着他又睡着了，于是又做了第二个梦。在梦中他觉得听见了一种尖锐刺耳的声音，他以为是一声雷响，这使他惊醒了，睁开眼睛一看，他觉得在他房里到处是火星。这并没有什么奇怪，笛卡尔常常有这种经验，半夜醒来，眼前星光闪烁，以致使他能看见周围的物体。笛卡尔慢慢恢复了平静，这时他求助于哲学的理由，得出了符合他的理解的结论，把那声雷响解释为是"真理降临到他身上，来占有他的一种信号"。于是他又睡着了。过了一会儿，做了第三个梦。这与前两个梦不同，温和而又令人愉快。他在梦中见到了这两本书，一本是字典，另一本是他曾非常喜爱而又多次读过的诗集。最为有趣的是，笛卡尔还没醒来就在梦中析梦。他判断，那个字典仅仅是指结合在一起的各门科学，而诗集 则更显著、明白地标志着哲学和智慧的统一。他还对他读到的诗句逐一解析。他认为，前面那两个梦是对他过去的生活的可怕的谴责，因为他过去的生活，在上帝面前和在人面前一样，并不是无可指责的。但第三个梦温和而又令人愉快，预示着未来，预示着在他的后半生将要发生的事，说明他将有能力去进行他设想的伟大事业，这使他有"天降大任于斯人"之感。他深信这三个梦完全是出于上天的恩赐，要他负担起哲学的使命，所以他十分兴奋，许愿要到罗莱德(Loreto)朝圣。1620年，他参加了博汉姆战役，很可能也参加了白山战役。但他第二年就退休了，去了荷兰，住在海牙。这时，他首次遇到伊丽莎白公主(Princesse Elisabeth)，当时她还是个不解人事的小女孩。她后来非常仰慕笛卡尔，因为她在19岁那年，读到了笛卡尔的《方法导论》，体会到哲学是如此地平易近人，又如此地博大精深。1621年笛卡尔最后一次体验军营生活，加入匈牙利军队。次年3月，返回法国处理财务问题，和哥哥谈妥祖传古屋和耕地，这些产业每年可收入六七千法郎。为了日后能专心研究，他必须先筹划生活费用，将归他的那份产业卖掉。由于他父亲死后留给他一笔可观的遗产和房产，他把房产卖了，拿去投资，可以专心追求自己的利益，不用担心收入来源。1629年，笛卡尔移居荷兰，在那里隐居了20年。按照罗素的说法，17世纪的荷兰是欧洲“唯一拥有思想自由的国家”，所以笛卡尔可以在这里致力于哲学和科学研究。不久，他又出去旅行了，先是去了瑞士，然后去了意大利。他在意大利住了一年多，去威尼斯参加当地一个特殊的节日——威尼斯和大海的婚礼庆典。然后从威尼斯步行到罗蕾莱圣母大教堂朝圣，以实现当年的誓言。另外，他也参加了宗教 乌尔班八世(urbano Ⅷ) 颁布圣年。虽然曾经路过翡冷翠，但并没有去拜访伽利略。
笛卡尔在专业领域的突破和思想上的魅力影响了很多人。他认识了许多后世的重要人物，如梅森、梅朵、费马、罗波娃等。在巴黎期间，笛卡尔每周都在梅森的住处与他们会面，讨论数学和物理。这个自发组织被称为“梅森学院”，后来演变成法国科学院。1625年，他越过阿尔卑斯山，回到法国，住在巴黎做他的研究。当时巴黎的学术界名流(包括巴尔扎克、数学家阿尔迪、巴黎数学教授莫兰和天文学家德博纳等)，因为仰慕笛卡尔之名，与他来往频繁。笛卡尔此间还见到了许多老朋友，其中有马兰·梅森 (Marin Mersenne)。麦尔塞纳在后来许多年中一直是笛卡尔最忠实的朋友，书信来往频繁，他利用自己与欧洲许多著名学者相识的有利条件，把笛卡尔的著作介绍给他们，又把他们的意见汇总起来告诉笛卡尔。起先，他住在父亲的一位朋友家里，由于不胜应酬之苦，乃不辞而别，搬到一个陌生的市区。好友梅色纳神父也在巴黎，多方为他寻找清静之地。
1628年秋天，笛卡尔决定离开法国去荷兰。从那时起，他在那里定居，直到1649年几乎从未离开。
至于为什么笛卡尔选择荷兰这块地方，我们猜想可能是因为他怕人家在法国指控他为异端，对自己的生命和自由都有所不利，也可能仅是为了法国的熟人太多了，交往应酬颇为妨碍研究工作，不如远居他乡，反而容易找到清静的环境，安心完成他的哲学写作计划。因为当年的荷兰的确是个好去处，政治修明，民风纯朴，人民享有充分的思想和言论自由。笛卡尔在荷兰的20年中，更换了多次住所，但通常都是选择在一座大学或著名的图书馆附近。他的收入允许他租用一所小别墅，并雇佣几个佣人。他终生没有结过婚，不过住在荷兰期间，有过一位情妇，名叫海伦(Helen)。她为笛卡尔生了一个女孩，取名为法兰星(Françine)。笛卡尔非常爱她，可惜这个女孩5岁就夭折了，为此笛卡尔伤心了很久。普鲁士的伊丽莎白公主和克里斯蒂娜女王的克里斯蒂娜都是笛卡尔思想的崇拜者。笛卡尔一生的女人很少，只有他的女仆海伦是真正的情人。他们有一个女儿，但在童年时死于猩红热。两位皇室女性是接触比较多的。他和伊丽莎白公主的交流主要靠书信。由于国家的变化，伊丽莎白的家人一直以王室流亡者的身份生活在海牙。她偶然看到笛卡尔的方法论和冥想集后，开始和笛卡尔交流讨论自己的人生，直接促成了笛卡尔激情理论的完成。笛卡尔急于传播他的哲学，以建立自己的哲学作为官方的天主教哲学。1644年他再用拉丁文将他的《论宇宙》，由天主的存在到自然界的一切现象一一用演绎的方法加以说明，编写成《哲学原理》(Principia Philosophiae)。这本书是献给那位敬仰他的美丽的伊丽莎白公主，全书分为四个部分，第一部分《人类知识原理》叙述了他的形而上学的思想;第二部分《物质事物的原理》;第三部分《可见的世界》;第四部分《地球》又全面、系统地阐述了他在《论宇宙》中的机械唯物主义的基本思想。笛卡尔将它编成教科书的形式，分成四册装订，意思是想把它的哲学带入课堂。
没想到5年后，这本书又引起了一场巨大的风波。这一次，神学家Revius等人对笛卡尔进行了抨击，把笛卡尔的机械宇宙论看得几乎和无神论一样。
早在1641年的时候，乌得勒支(Utrecht)大学有一位笛卡尔的弟子雷吉尤斯(Regius)采用笛卡尔的哲学体系授课，当时的校长吉尔伯特·沃埃特斯(Gilbert Voetius)甚为反对笛卡尔本人，于是向市法院控告笛卡尔;并敦促地方法院下令禁止这种新思想。笛卡尔于是起来自卫，发表了《勒内·笛卡尔给著名的吉尔伯特·沃埃特斯的信》，驳斥沃埃特斯，而沃埃特斯亦不甘示弱，严词申斥，但再次被笛卡尔反驳。地方法院下令笛卡尔出庭申辩，但被笛卡尔拒绝，因此一项不利于他的判决便被通过了。乌得勒支的校董事会宣布笛卡尔哲学是不当的，要当众焚毁笛卡尔的著作。幸好他在海牙的朋友(法国公使)替他求情，法官总算愿顾全大家的面子，仅禁止以后公开讨论笛卡尔的哲学，并取消雷吉尤斯的课，但也不允许公开反对笛卡尔的文章。荷兰的生活不像以前那么平静了。一些宗教学者视笛卡尔为敌人，于是笛卡尔数次回国。
第一次是在1644年，也就是《哲学原理》出版的那一年。他希望在巴黎教书的梅斯兰神父(PMesland)能采用他的形而上学做教材。但是耶稣会的会长鉴于梅斯兰神父与笛卡尔的关系太密切，早把他调到加拿大并且不许他回来。第二次在1647年，这次回国是因为法国国王允许给他俸金，但这事也始终没有实现。但他会见了法国教学家和神学家帕斯卡(Blaise Pascal)，向他提出了一个证明空气对所有物体都有压力的著名实验。第三次是在1648年，正值法国内战爆发，政局动荡，于是他只会见了一些著名的同代人，如伽森狄(P Gassendi)、霍布斯(T Hobbes)，麦尔塞纳等人，便匆匆去荷兰，打消了归国定居的计划。 1649年，笛卡尔受到瑞典女王克里斯提娜的盛情邀请，前往斯德哥尔摩去给她讲课。那是一个非常寒冷的地方，笛卡尔从小就体质孱弱，不习惯早起，而女王又只有早晨5点钟有时间，所以笛卡尔很快病倒了，第二年2月份就去世了。在后来的传说里，笛卡尔与女王克里斯提娜的这段交往经历，被很多八卦爱好者添油加醋、绘声绘色地编造成了一段凄美的爱情。克里斯蒂娜女王在晚年的二月，邀请笛卡尔到瑞典皇宫来教授她的哲学，目的是让她的皇宫成为艺术的圣地和有学问的人的聚集地。自1647年起，她通过法国大使收到笛卡尔的作品，并一直与他不断通信。克里斯蒂娜·奥古斯塔（Kristina Augusta），是1632至1654年间的瑞典女王。古斯塔夫二世·阿道夫在三十年战争吕岑会战中阵亡后，其6岁的独女克里斯蒂娜便以假定继承人的身份继承了王位。克里斯蒂娜女王天分过人，她马术精湛，并学习过剑击和射击。此外她还精通希腊语、拉丁语和法语。克里斯蒂娜女王信奉天主教，终身未婚。克里斯蒂娜退位后，在法国和罗马渡过晚年，死后葬于圣伯多禄大殿。在收到《心之激情》的手稿后，她接连发出了好几个邀请，表达了想见一面的愿望& # 34；杰出的笛卡尔先生& # 34；。笛卡尔犹豫了一会儿，因为他& # 34；出生在都兰的花园& # 34；，不愿意& # 34；去冰雪中岩石和野生动物出没的地方& # 34；。但后来，他认为这样一个高贵的女王可能对他的哲学的推广有很大的帮助。更有甚者，女王派了一名海军上将去劝他，还派了一艘军舰去接他。与此同时，法国驻瑞典大使频频催促，他终于决定北上。2008年9月，他乘船从阿姆斯特丹到瑞典斯德哥尔摩。临行前，他把自己最后一本书《激情》(Passion des Passions)的手稿交给了出版社，还有一本不完整的书，即《以理性之光寻找真理》(la recherche de la verit par la米露& egraveRe Naturelle)也是在这个时候完成的。笛卡尔到达斯德哥尔摩时，正是寒冷的季节，北方的天气异常寒冷。23岁的女王为他举行了隆重的欢迎仪式。笛卡尔对她的热情和活力印象深刻，但女王的气质有些怪诞。她不得不每周听三次他的课，但她不得不在早上5点给她上课。令笛卡尔惊讶的是，他过去常常起得很晚。现在，为了应付女王的瘾，他每周三天都要半夜起床，然后在寒冷的天气里颤抖着从自己的公寓走到女王的书房。于是过了两个月，1650年2月1日早上，笛卡尔因为感冒而感冒，很快就变成了肺炎，病情严重。10天后，他在接受最后一次圣礼后去世，享年54岁。当时学术界并没有关注他去世的消息。只有一家报纸报道了这条新闻，但措辞带有讽刺意味:& # 34；瑞典死了一个疯子，以为人可以随心所欲的活着。"作为一名天主教徒，他被安葬在新教瑞典的一个未受洗儿童公墓。出殡时，仅有寥寥几位友人前来送葬，这是否应验了他的座右铭: "凡善自隐藏者，方为善自摄生者" 。他所提出的"方法的怀疑"，对于 "什么是真" 的问题的提出以及对自明律或直观的说明，无疑是近代哲学的中心问题，所以不到几年，大家都发现了他的伟大，承认了他是时代的先知。在评论笛卡儿的骨灰回归他的故土法国时,德国数学家雅克比幽默地说:"占有伟人的骨灰,通常比他们活着的时候占有他们本人更方便。"笛卡尔死于肺炎。在教会控制下的学术界，笛卡尔的死很冷淡，只有几个朋友为他送葬。随着笛卡尔数学和哲学思想影响的扩大，在他去世18年后，法国政府将他的骨灰运回巴黎的名人公墓。
1667年，他的遗骸被运回巴黎，隆重地埋葬在圣格内弗埃-蒙特(Sainte G neviegrave-del-Mont)的圣堂中。1799年又将其骨灰置于历史博物馆,1819年移入圣日耳曼圣心堂中,其墓碑上刻着:笛卡儿,欧洲文艺复兴以来,第一个为争取并保证理性权利的人。1896及1937年，世界各地都隆重地举行哲学会议，以纪念他的诞生和《方法导论》问世300周年。苏格拉底曾经说过，我只知道一件事，那就是我什么都不知道。笛卡尔在广泛阅读之后，有了和苏格拉底一样的感受，发现以前的理论充满了谬误，令人生疑和困惑。
在众多科目中，唯有数学的基础是牢固的，但是非常遗憾，人们并没有在上边建立起知识的大厦。于是，笛卡尔决心自己来着手从事这项巨大的工程，他希望用“数学的精神”来进行哲学性的思考。他要追求知识的确定性，就像“2+2=4”一样，建立一门所有科目都统一于哲学的科学观。他把哲学比作一棵大树，其中形而上学是根，物理学是树干，树枝是医学、力学、伦理学等各种应用学科。孔子有句名言:工欲善其事，必先利其器。笛卡尔也明白这个道理。笛卡尔为了建立自己的哲学体系，从逻辑学、几何学、代数学提出了四个方法论原则。
从来不承认任何事情是真的，我一点都不怀疑的事情就当作真理；每个问题都必须分成几个简单的部分来处理；思想必须由简单到复杂；我们应该不时地彻底检查一下，以确保没有遗漏任何东西。笛卡尔的方法被后人称为“普遍怀疑”，他要用这种方法为构建知识的大厦寻找一个可靠的出发点，就像阿基米德的名言：“给我一个支点，我就可以撬起地球”。也就是说，对笛卡尔来说，怀疑本身不是目的，而只是手段，他要用普遍怀疑去寻找那不可怀疑的东西。
笛卡尔说，只有怀疑和思考，才能确定自己的存在。可能有人会问，想这些问题有什么用？与其去想“我从哪里来，要到哪里去”，不如去想“我接下来要吃什么”。
但其实，每个人来到世界上，都是有自己的使命的，只是人性本懒，很多人一辈子，可能都没想过去找到它。所以有太多人直到死都不知道自己为什么活着，就像有多少人活着的时候也不知道自己能为什么而死——就这样什么都不知道地，活到死。当然，这样的状态或许无可厚非，否则也不需要哲学家了。成为哲学家的那一类人，他们的使命就是为人类更好的生存找一条路。笛卡尔探索道路的第一步是怀疑。当经院哲学家用“死后的酷刑”和“世界末日”来要求人们像服从基督一样服从他们的主人时，笛卡尔发现他思想中的一切似乎都来自于外界的灌输。
那时，哲学只是神学的一部分，并不独立存在，宗教的权威麻醉了人们的神经，学校教学的内容都是围绕天主教义进行的。但真理，并不掌握在权威手中，“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能把所有的事物都怀疑一次”，换句话说，只有经得住怀疑检验的东西才能够成为真理。就是这样，笛卡尔抛开了所有固有的见解，用演绎推理来沉思存在，沉思疑惑，最终在第一部哲学沉思集里推导出这样一个结论:
世界上唯一不需要怀疑的是“我在怀疑”本身。我越怀疑，就越靠谱。
怀疑本身就是一种思维活动。我很怀疑，也就是说我在思考。
“我思故我在”。而那句著名的“我思故我在”也成为了笛卡尔的一张名片。
然而其实，“怀疑”这件事情本身，是不是也是受控于一种更加强大的力量呢？其实未可知。不过，笛卡尔的思考，把人类的思维带进了一个新的时代。既然人懂得怀疑，哲学和宗教必然会分离成两条不同的道路，因为宗教让人相信，哲学让人怀疑，宗教让人相信普遍经验，哲学让人相信自己的经验，这是根本对立的。兼听则明，不信则无，是笛卡尔大智慧的体现。笛卡尔的名言“Cogito ergo sum”到底是什么意思？这需要借助上面提到的“普遍怀疑”的方法论来理解。人们一般认为不可怀疑的确定性，在笛卡尔看来都是值得怀疑的。他怀疑的对象不仅包括前人的理论，甚至连我们的感官，他都不信任。比如说，我现在能不能怀疑我穿着厚厚的羽绒服坐在电脑面前打字？可以这样怀疑，因为实际的情况可能是我现在穿着睡衣睡在床上，眼前的情景只是一个梦。看过电影《盗梦空间》的人都知道，有时候现实和梦境是难以区分的。如果没有那个可以旋转的小陀螺，你怎么确定你现在的生活不是一场梦呢？说到这里，很多人都会想起“庄周梦蝶”的典故，究竟是庄子做梦梦见自己变成了蝴蝶？还是蝴蝶做梦梦见自己变成了庄子？你区分这两者的根据是什么呢？由此可见，亲眼见到的也不一定是真的，感官有可能会误导我们。你怎么知道你现在不是在做梦？即使是我们认为毋庸置疑的数学知识，比如前面提到的“2+2=4”，也是可以怀疑的。“因为不能排除，他们天生就是错的。只是上帝创造我们的时候，故意让我们每次都犯同样的错误，觉得自己是对的；或者这些只是一个狡猾的怪物精心设计的骗局。”既然一切都可以怀疑，那还有什么不能怀疑的呢？如果有，什么是毋庸置疑的？笛卡尔说：当我要把一切事物都想象成虚假的时候，这个进行思维着的“我”必然非是某种东西不可；我认识到“我思故我在”这条真理十分牢靠、十分确实，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻，于是我断定我能够毫不犹疑地承认它是我所探求的哲学中的第一原理。也就是说，思想可以怀疑思想对象，但却不能怀疑自身。我们可以怀疑一切众生，但有一样东西是不能怀疑的，那就是“我在怀疑”本身。必须注意的是，笛卡尔这里所说的“我”不是一个肉体，而是一个思想主体。“严格来说，我只是一个思维的东西，也就是说，我只是一个头脑，一个理由或者一个理由。”还有一点需要强调的是，笛卡尔“我思故我在”的哲学观点并不是逻辑推理，而是基于某种理性直觉。换句话说，“我想”和“我在”之间没有因果关系。上帝存在与心物二元论“我思故我在”是笛卡尔哲学的第一原则，是他重建知识大厦的出发点。它的意义在于确立自我是一个意识形态的实体。
然后他从这个确定的命题出发去推导其他确定的知识。接下来，他要论证上帝的存在。也许是因为他从小信仰天主教，他相信每个人脑子里都有一个清晰明确的上帝概念。上帝的概念是一个“无限完美”的存在。那么这种对上帝的想法是外部原因产生的，还是自己的想法产生的呢？笛卡尔认为，这种想法显然不可能来自于我们自己，因为我们都是不完美的、有限的，不可能从一个有限的“自我”中产生一个无限的“上帝”。那么这个想法一定是来自完美的存在本身，也就是上帝。所以笛卡尔相信上帝是存在的。在确立了自我和上帝的存在之后，笛卡尔去考察了物质的本质。他认为，心灵是一个实体，其本质属性是思维，思维不占空间，不可分解。但每个人不仅有心灵，也有身体，而身体是物质，所以笛卡尔认为物质是另一种实体，其本质属性是广泛性，即有体积，占有空间，可以分解成更小的单位。这样，我们可以说，人是两个实体的结合体，身体是物质，意识是心灵。因此，笛卡尔是一个心物二元论者。什么是实体呢？笛卡尔给出的定义是：“一个不依赖其他任何东西而自身存在的东西。”严格来说，只有上帝才符合这个定义，所以他认为上帝是最高的实体，心灵和物质都来自上帝，是次一级的实体。
笛卡尔是形而上学的二元论者，自然科学的机械唯物主义者。
既然身体是物质的，那么它就要遵循物理规律，比如他把动物看作机器，把血液的循环看作一种机械运动。只是由于人有灵魂，他才没有把人看过机器。对于笛卡尔来说，灵魂实际上指的是理性。
由于笛卡尔把物质和心灵看作两种独立的完全不同的实体，那么按理来说，身体和心灵就不能相互作用，这与人的身心协调一致的事实明显矛盾。这样在理论上就面临着巨大的困难。为了解决这个难题，笛卡尔就假设人的身体和心灵有一个交接点，这个交接点就是位于脑部的“松果腺”。人的身体和心灵就通过“松果腺”这个交接点相互发生作用。但是，这种解释也有一个困难，就是给心灵这种实体赋予了位置，违反了心灵没有广延的原则。因此，关于身心交感或者心物关系的问题，在笛卡尔这里并没有得到真正有效的解决。笛卡尔的人生哲学有意思的是，笛卡尔思想离经叛道，具有开拓精神，但日常行为谨慎，“奉行保持我们的理智，使我们自己与世界和平相处的人生哲学”。
后来罗素写《西方哲学史》的时候，说“笛卡尔是懦弱胆小的人”。其实笛卡尔这么做，也是情有可原。那个年代，罗马教会的势力非常庞大，1600年布鲁诺因为主张“日心说”而被动用火刑活活烧死在十字架上，1633年伽利略也被教廷逮捕裁判。鉴于这种情况，笛卡尔写了《宇宙论》之后就不敢出版，直到他离世很多年以后，后人才把部分相关手稿整理刊行。为了不给自己招惹麻烦，让自己免遭迫害，从而可以清静无忧地做研究，笛卡尔还给自己列出了几条处世准则。其中两条是：“遵守我们国家的法律和习俗，坚持我从小在上帝的祝福下接受的宗教，在其他一切事情上以我周围最明智的人为榜样，遵循他们在实践中一直接受的最温和、最不极端的意见，以此来自律。”“永远努力战胜自己，不是你的命运，而是你的愿望，而不是世界的秩序。”笛卡尔哲学的影响与评价笛卡尔建立了近代哲学史上第一个哲学体系，明确提出了知识的起源、结构、真理、确定性、普遍性等近代认识论问题。就连一向刻薄挑剔的罗素也承认自己是“现代哲学之父”。“我思故我在”这个第一哲学原理在西方哲学史上影响是很大的，黑格尔曾说，“从笛卡尔起，哲学一下转入了一个完全不同的范围，一个完全不同的观点，也就是转入主观性的领域，转入确定的东西”。他的哲学理论不仅具有“唯理论”的倾向，还含有“经验论”的成分，因此他的哲学对后来欧洲大陆的理性主义和英国的经验主义这两派哲学，都产生了巨大的影响。笛卡尔的爱心函数图笛卡尔不仅是著名的哲学家，也是杰出的数学家和科学家。
笛卡尔的智慧，绝不仅限于哲学，他对数学、物理学等近代科学都起到了不可磨灭的推动作用。他在上学的时候就发现自己对几何学有着浓厚的兴趣，尤其痴迷欧几里得的几何学，在里面“一个定理，文字如诗般磨砺，证明严密到让人不能有任何怀疑。”“它是抽象的、可见的、深刻的、有形的。当一个由来已久的问题通过苦思冥想得到证明时，一种说不出的快感流遍全身，令人兴奋。”在数学的海洋里徜徉得越久，他越发现，似乎一切科学，都与数学有关，它可以解释所有我们能够知道的顺序和度量。但是，几何毕竟还是一门难学的学科，所以笛卡尔开创了用代数的方式表达几何的先河。于是，就有了我们后来看到的“解析几何”。他还创建了坐标系，并发现了凸多面体的边、不动点和表面之间的关系。甚至很多数学符号，比如代表未知数的x和y，都是笛卡尔首创的。除此之外，光的折射定律的论证，运动相对性的发展，动量守恒定律的最初形式，以及其他我们现在非常熟悉的科学原理，都与笛卡尔有着直接的关系。
想想吧。除了笛卡尔，很多哲学家似乎同时也是科学家。其实科学和哲学有相通之处。哲学中有一个分支叫逻辑学，它强调演绎推理，而科学之所以被认为是精确严谨的，正是因为它有清晰可见的公理、定理和推论，在方法论上是相似的。
在数学上，他是解析几何的创始人。在自然科学中，他是近代机械论的主要代表之一，对后来的法国唯物主义有重要影响。后来比如18世纪，法国的拉丁美洲写了一本叫《人是机器》的书，进一步推进了笛卡尔的观点。即使笛卡尔这个名字不能引起你太多的感受，但他的影响已经不知不觉地渗透到你的生活中，你的很多思想都可以追溯到他的理论。
为了纪念他，法国政府将他出生的小镇改名为笛卡尔，巴黎第五大学，也被称为笛卡尔大学，以医学闻名。他对人类的贡献无法用大小来计算，但他的存在让人们意识到，当我们开始怀疑的时候，我们才成为真正完整的人，否则，我们只是思想的奴隶。
笛卡尔_360百科
如何理解笛卡尔的“我思故我在”？
笛卡尔日|你有没有怀疑过这个世界？
最高的自律是享受孤独。
记住关于阅读的著名英语单词。
笛卡尔和帕斯卡:用数学刺痛人类的脆弱
笛卡尔说，& # 34；自我反省是一切思想的源泉。智慧来自于思考自己，而不是思考别人。"
阅读所有好书就像和过去几个世纪最杰出的人交谈。
笛卡尔我思故我在下一句，笛卡尔我思故我在含义
笛卡尔几乎与解析几何和“我思故我在”分不开。
勒·笛卡尔是法国著名的哲学家、数学家和物理学家。笛卡尔1596年出生于贵族家庭，1650年去世，活了54年。笛卡尔在世时，欧洲经济学院的哲学牌开始衰落，自然科学迅速发展。在启蒙思潮中，笛卡尔决心建立一个追求真理、有利于征服自然的科学哲学体系。笛卡尔称之为“实践哲学”。
这种实践哲学包括三个部分:形而上学、物理学和其他具体学科。其他具体学科包括力学、医学和伦理学。笛卡尔将形而上学描述为树的根，这是知识的基础。它是物理学的主干，其他具体学科是分支。这种分类只是基于逻辑形式的分类。不代表其他具体学科不重要。笛卡尔曾经说过，人们最终从树枝上采集果实。
我们知道笛卡尔是一位伟大的数学家，解析几何的创始人。笛卡尔认为数学是被证明的，知道确切的科学。因此，笛卡尔将数学的推理和演绎方法一般化，以建立新的知识体系。
但是推理和演绎需要一个可信的真理作为大前提。笛卡尔认为现有的概念和原理极其可疑。怀疑他们。在真理难分的情况下，笛卡尔认为唯一的正当途径就是拆掉旧的基础，怀疑所有的知识和观念Z，然后找到颠扑不破的真理。以此作为推理的起点。所以笛卡尔提出了普遍怀疑主义。
首先，笛卡尔怀疑可感知的物质世界。因为感官体验会出错。
其次，怀疑推理获得的知识。
第三，我也怀疑宗教领域的存在和管理。
当然，怀疑并不是抛弃所有的知识。而是怀疑一切知识，在理性的尺度上进行修正，找出合理的概念和原理，然后加以运用。
从普遍怀疑出发，笛卡尔推倒了所有的旧知识。但是笛卡尔认为，至少我可以确定我在怀疑。我在思考这件事是存在的，所以作为怀疑的主体，“自我”也是存在的。我想，所以我是。我就是我自己，一个精神存在，也就是头脑。我认为我是笛卡尔哲学的第一原理，是笛卡尔知识体系的基石。
运用这种“我思故我在”的推理方法，我们可以从概念的存在推导出产生概念的主体的存在。这样，根据我思想的基石，我是在场的。我有完美(无限完美)的概念，但我不是完美的，所以我不能产生完美，所以一定有不同于自我的存在产生完美。只有完美的事物才能产生完美，上帝是完美的，所以上帝产生完美。上帝是存在的。要建立整个知识体系的基础，笛卡尔还需要证明外部物质世界的存在。我们再一次回到第一个原则“我思故我在”，概念主体是从概念推导中产生的。我能感受到外部物质世界的存在，这个概念是确切而清晰的。我的想法只能来自上帝，他是完美的，不会欺骗人，所以我的感觉是真实的。所以外在的物质世界是存在的。
不难看出，笛卡尔对自我、上帝和外部物质世界的推理是以“我思故我在”的第一原理为基础，并通过三段论演绎加以证明的。至此，笛卡尔奠定了他的知识体系的基础。
笛卡尔简单的发现，引发了一场深刻的数学革命，致使拓扑学诞生
简介
面、边和顶点的数量不是独立的，而是以简单的方式联系在一起的。它利用最早的拓扑不变量的例子来区分具有不同拓扑结构的实体。拓扑学是纯数学中最重要、最有力的领域之一，是研究几何对象在连续变形后不变的性质。它帮助我们理解酶如何作用于细胞中的DNA，以及为什么天体的运动可以是混沌的。
欧拉立方体
随着19世纪接近尾声，数学家们开始发展一种新的几何，在这种几何中，长度和角度等熟悉的概念不再是关键，三角形、正方形和圆形之间也没有区别。它最初被称为位置分析，但数学家们很快找到了另一个名字:拓扑。
笛卡尔在1639年思考欧几里得的五个正多面体时注意到了拓扑学。于是笛卡尔把注意力转向了正立方体，也就是在这个时候，他注意到了关于正立方体的数律。立方体有6个面、12个边和8个顶点:
十二面体有12个面、30条边和20个顶点:
二十面体有20个面、30条边和12个顶点；+12的和等于2。同样的关系也适用于四面体和八面体。事实上，它适用于任何形状的固体，规则的或不规则的。如果一个实体有f个面，e个边和v个顶点，那么:
笛卡尔认为这个公式只是一个小发现，并没有发表。直到很久以后，数学家们才把这个简单的方程视为走向拓扑学的第一步。在19世纪，纯数学的三大支柱是代数、分析和几何。到了20世纪末，它变成了代数、分析和拓扑学。拓扑学通常被描述为“橡皮泥几何”。线可以弯曲、收缩或拉伸，而圆可以被挤压成三角形或正方形。保持连续性很重要。连续性是自然界的一个基本方面，也是数学的一个基本特征。今天我们主要是间接使用拓扑学。量子场论和符号分子DNA的一些性质需要通过拓扑学来理解。
欧拉在1750年和1751年证明并发表了这个关系。F-E+V的表达看起来挺随意的，但是结构很有意思。面(f)是二维多边形；边(e)是一条线，并且是一维的；顶点(v)是一个0维的点。在表达式+F-E+V中，“+”表示偶数维，“-”表示奇数维。这意味着可以通过合并面或删除边和顶点来简化实体。这些变化不会改变F-E+V的结果。
现在，让我解释一下。如图所示:
简化实体的关键步骤。从左至右:(1)开始；(2)合并相邻的面；(3)所有面合并后保留的“树”；(4)从树中删除边和顶点；(5)结束。
先把立体变成球体，它的边就是球体上的曲线。如果两个面共享同一条边，则可以删除这条边，并将两个面合并为一个面。因为这个合并把F和E都减1，所以不会改变F-E+V的结果，这样做，直到得到一个几乎覆盖整个球面的面(除了这个面，只剩下边和顶点)。它们必须形成一个没有闭合环的网络，因为球面上的任何闭合环都被至少两个面分开:一个在闭合环内，另一个在闭合环外。
这个过程将继续下去，直到球体上只剩下一个没有任何特征的顶点。现在V =1，E = 0，F =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2 .但既然F-E+V的每一步都是常数，那么它的初值也一定是2，这就是我们要证明的。
这个证明有两个组成部分。一种是简化过程:删除一个面和一个相邻的边，或者删除一个顶点和一个相交的边。另一种是不变，即无论何时执行简化过程中的某一步，它都保持不变。只要这两个分量同时存在，我们就可以尽可能简化任何初始对象的不变值，然后计算这个简化版本的不变值。因为它是一个不变量，所以这两个值必须相等。因为最后的结果很简单，所以不变量很容易计算。
事实上，笛卡尔的公式不适用于任何固体。最常见的不合适的固体是相框。想象一个木头做的四面相框。每条边的横截面为长方形，四个角由45°斜面连接，如下图所示。每边的木头贡献4个面，所以F = 16。每块木头也贡献了4条边，但是斜接在每个角上产生了4条边，所以E = 32。每个角包含4个顶点，所以V = 16。因此F-E+V =0。
有什么问题？
左:F-E+V =0的帧。右图:平滑简化后的相框最终结构。
F-E+V不变性没问题。简化流程没有问题。但是，如果总是消除边上的面或边上的顶点，那么最终的简化配置不是单个面上的单个顶点。上图右图:F =1，V =1，E =2。在此阶段，移除边只会将唯一剩余的面与其自身合并，因此对数字的更改不再偏移。这就是我们停下来的原因，但我们还是得到了答案:对于这个配置，F-E+V = 0。因此，该方法被完美地执行。它只是对相框产生了不同的效果。相框和正方体之间肯定有一些基本的区别，这些区别通过不变量F-E+V体现出来。
之前我跟你说过“把固体改造成球”。但这对于相框来说是不可能的。即使经过简化，它的形状也不像一个球体。它是一个圆环，看起来像一个轮胎，中间有一个洞。但是，F-E+V不变。这个证明告诉我们，任何可以变形为环面的立体都满足一个略有不同的方程:F-E +V = 0。因此，我们有了严格证明环面不能变形为球面的基础，即两个曲面在拓扑结构上是不同的。
当然，这是直觉上显而易见的，但现在我们可以用逻辑来支持直觉。就像欧几里德从点和线的明显性质出发，将其形式化为严格的几何理论一样，19世纪和20世纪的数学家发展了严格的拓扑理论。
左:2孔圆环。右图:3孔圆环。
像圆环体一样的实体，有两个或多个孔，如上图所示。结果表明，任何可变形为2孔环面的立体都满足F-E+V =-2，任何可变形为3孔环面的立体都满足F-E+V =-4，一般来说，任何可变形为G孔环面的立体都满足F-E+V = 2- 2g。
沿着笛卡尔和欧拉的思路，我们找到了固体的数量性质(面、顶点和边的数量)与带孔性质之间的关系。我们称F-E+V为立方体的欧拉特征。
我们数孔的数量，这是一个定量的运算，但“孔”本身是定性的，因为它根本不是一个固体的特征。直观上，它是空间中的一个区域，而固体不是。其实越是开始思考什么是洞(hole)的时候，越会意识到定义洞是相当棘手的，比如下图:
这是我最喜欢的例子之一。叫做“洞中之洞”。显然，你可以把一个洞穿过另一个洞。
情况变得越来越复杂。到19世纪末，它们在数学中无处不在——在复分析、代数几何和黎曼微分几何中。更糟糕的是，在纯数学和应用数学的所有领域，高维固体类似物都占据着中心地位。太阳系的动力学要求每个物体都有六个维度。它们具有更高维度的孔类似物。无论如何，有必要给这个新领域带来一点秩序。答案是:不变。
拓扑不变量的思想可以追溯到高斯对磁学的研究。他对磁力线和电力线是如何相互连接的感兴趣。他定义了连接数，即一条磁力线缠绕另一条磁力线的次数。这是一个拓扑不变量:如果曲线连续变形，它保持不变。高斯的学生约翰·李斯特和高斯的助手奥古斯特·莫比乌斯第一次知道了高斯的研究。李斯特在1847年的《拓扑学研究》中引入了“拓扑学”一词，而莫比乌斯则定义了连续变形的函数。
李斯特想推广欧拉公式。表达式F- E+V是一个组合不变量。孔洞数g是一个拓扑不变量:无论固体如何变形，只要变形是连续的，就不会改变。拓扑不变量捕捉形状的定性概念特征；组合函数提供了一种计算方法。两者的结合是非常强大的，因为我们可以用概念不变量来考虑形状，用组合不变量来确定我们要讨论的内容。
实际上，这个公式完全避开了定义“洞”这个棘手的问题。相反，我们把“孔数”定义为一个包，既不定义孔，也不计算有多少孔。具体怎么做？就是把欧拉公式F-E+V = 2-2g改写成这样的形式:
现在，我们可以通过在立体声上“取景”来计算G，计算F，E，V，然后把这些值代入公式。因为表达式是不变量，所以不管我们怎么划分实体，得到的答案总是一样的。但是我们所做的一切并不取决于洞的定义。反之，“孔数”就成了直观的解释。
这是拓扑学一个核心问题的重大突破:什么时候一个形状可以连续变化成另一个形状？也就是就拓扑学家而言，这两个形状是一样的吗？如果它们相同，它们的不变量也一定相同；反之，不变量不同，形状也会不同。因为球面具有欧拉特性2，圆环体具有欧拉特性0，所以不可能将球面连续变形为圆环体。
不明显的是，欧拉特性表明，这个令人费解的“洞中之洞”实际上只是一个伪装的三孔环面。曲面的大部分复杂性并不是来自于曲面固有的拓扑结构，而是来自于我选择将其嵌入空间的方式。
拓扑学中第一个真正重要的定理来自于欧拉特征线的公式。它是曲面的完整分类，曲面的二维形状，像球面或圆环面。此外还附加了一些技术条件:曲面要没有边界，范围要有限(术语为“紧致”)。
为了这个目的，表面本质上被描述；也就是说，它不存在于周围的空间中。一种方法是把这个表面想象成许多多边形区域，它们按照特定的规则沿着边缘粘在一起。
将正方形的边粘附在一起，形成一个圆环。
结合边界的可能性导致了一个相当奇怪的现象:只有一面的曲面。最著名的例子是莫比乌斯带，这是一条长方形的带子，两端以180°旋转粘在一起。莫比乌斯带只有一条边，因为长方形的两条分开的边是用半扭连接的。
我们可以很容易地做出一条莫比乌斯带，因为它可以自然地嵌入三维空间。这条带子只有一面，也就是说，如果你开始画它的一个面，然后继续画，最终你会覆盖整个面，正面和背面。
这是因为半扭连接前后。这不是一个固有的描述，因为它依赖于在空间中嵌入波段，有一个等价的，更专业的特征叫做方向性，这是固有的。
如果我们把一个长方形的两条边粘在一起，就像莫比乌斯带一样，然后再把另外两条边粘在一起，就不需要任何扭曲。这个表面被描绘成这样一个十字，它看起来像一个瓶颈通过侧壁和底部相连。它是克莱恩发明的，叫做克莱恩瓶。
克莱恩瓶没有边界，结构紧凑，所以任何表面分类都必须包含它。它是所有单面曲面家族中最著名的。
在数学的很多领域，曲面都是自然出现的。它们在复分析中很重要，在复分析中，曲面与函数行为异常的奇点相关，例如，导数不存在。奇异性是复分析中许多问题的关键。由于奇异性与曲面有关，曲面的拓扑结构为复变量分析提供了重要的技术。
大多数现代拓扑是高度抽象的，许多拓扑发生在四维或多维空间中。我们可以在更熟悉的环境中感受到主题: kink 。在现实世界中，绳结是用绳子打结而成的。拓扑学家需要一种方法来防止结从结的末端脱落，所以他们将结的末端连接在一起，形成一个闭环。纽结是嵌入空间的圆。本质上，纽结的拓扑结构与圆的拓扑结构相同，但在这种情况下，重要的是圆在周围空间中的位置。这似乎违背了拓扑学的精神，但结的本质在于弦环与周围空间的关系。通过不仅考虑回路，而且考虑它与空间的关系，拓扑学可以解决关于节点的重要问题。包括:
我们怎么知道一个结真的打好了？
我们如何区分拓扑中的不同结点？换句话说，是否可以在不切断结本身的情况下，将两个结从一个光滑地形改变到另一个光滑地形，仍然被认为是一个复杂的数学问题。纽结不变量是帮助解决这个问题的强大工具，我们将在接下来介绍它。
我们能把所有可能的结分类吗？
苏格兰理论物理学家彼得·泰特(Peter Tait)多年来研究出了最早的纽结分类表。1910年，Max Dern引入了纽结群的概念。1928年，詹姆斯·韦德·亚历山大引入了纽结多项式，这是一种更容易处理的不变量。这些都是纽结理论发展的重要进展。
大约在1960年以后，结论进入拓扑学的低潮，等待创造性的见解。1984年，新西兰数学家Vaughan Jones发明了一种新的纽结不变量，叫做Jones多项式，也是由纽结图和三种运动定义的。但是，这些移动不会保留结的拓扑类型。然而令人惊讶的是，这个想法还是可行的，琼斯多项式是纽结不变量。
琼斯的发现为他赢得了菲尔兹奖。也引发了新纽结不变量的爆炸。1985年，4组不同的数学家(8人)同时发现了琼斯多项式的同一个推广，并将他们的论文提交给了同一份杂志。四种证明都不一样，编辑说服了八位作者联合起来，发表了一篇联合文章。它们的不变量通常被称为HOMFLY多项式(基于名字的首字母)。但即使是琼斯多项式和HOMFLY多项式也没有完全回答纽结理论的三个问题。对所有可能的结进行系统的分类仍然是数学家的白日梦。
拓扑有许多用途，但它们通常是间接的。比如我们对混沌的理解，就是基于动力系统的拓扑特性。
拓扑学更深入的应用出现在基础物理学的最前沿。在这里，拓扑学的主要“消费者”是量子场论者，因为超弦理论，即量子力学和相对论的统一理论，是建立在拓扑学基础上的。这里，结论中费曼图的背景出现了一个类似的琼斯多项式。它展示了量子粒子，如电子和光子，如何在时间和空间中移动，碰撞，合并和分裂。曼图有点像结图。
对我来说，拓扑学最吸引人的应用之一是它在生物学中日益增加的应用，这有助于我们理解生物分子DNA的工作方式。因为DNA是双螺旋结构，就像两个缠绕在一起的螺旋楼梯。这两条链错综复杂地交织在一起，重要的生物过程，尤其是细胞分裂期间DNA复制的方式，必须将这种复杂的拓扑结构考虑在内。
一些被称为重组酶的酶切割两条DNA链，然后以不同的方式重新连接它们。为了确定这种酶在细胞中的作用，生物学家将这种酶应用于DNA的闭环。然后，他们用电子显微镜观察修改后的环的形状。如果酶将不同的链连接在一起，图像就是一个结:
如果酶将这些链分开，图像会显示两个相连的环。纽结理论的方法，如琼斯多项式和另一种称为“纠缠”的理论，使研究纽结和连接的发生成为可能，这些纽结和连接提供了有关酶作用的详细信息。
一般来说，日常生活中不会遇到拓扑。但在幕后，拓扑学贯穿了整个主流数学，使得其他具有更明显实际应用的技术得以发展。这就是为什么数学家认为拓扑学很重要，而数学以外的人很少听说过。
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